Свойства ортогонального проецирования

ВОПРОСЫ И ОТВЕТЫ НА ЭКЗАМЕН

1. Назовите методы проецирования

Проецирование-это процесс получения изображения предмета на плоскости, бумаге. Получившееся при это изображение называют проекцией.

Методы проецирования:

Центральное –если проецирующие лучи расходятся из одной точки. Точка из которой выходят лучи называется центром проецирования. Такую проекцию еще называют перспективной (рисование с натуры)

Параллельное - если проецирующие лучи параллельны друг другу (солнечные тени):

- Косоугольное если лучи направлены под углом к поверхности на которую проецируются

- Прямоугольное – если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций

Способ прямоугольного проецирования является основным в черчении.

2. Назовите свойства ортогонального проецирования

Свойства ортогонального проецирования

Наряду со свойствами параллельного (косоугольного) проецирования ортогональное проецирование имеет следующие свойства.

1. Отрезок прямой в общем случае равен гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет равен его проекции на данную плоскость проекции, а второй - разности расстоянии концов отрезка до этой плоскости (рис.1.5).

2. Любой отрезок прямой и плоская фигура, параллельные плоскости проекций, проецируются на эту плоскость без искажения (рис.1.6), например, если АВ ½½ П ₁, то ½ A ₁ B ₁ ½ = ½ AB ½; D ABC ½½ П ₁, то D A ₁ B ₁ C ₁ = D ABC.

Рис.1.6 Рис.1.7

3. Проекция любой фигуры (плоской фигуры, отрезка прямой и т.д.) не может быть больше самой фигуры (как следствие п. 1 и 2).

4. Ортогональные проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, одна из которых параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, взаимно перпендикулярны, т.е., если a ^ b, и a ½½ П ₁, то a ₁ ^ b ₁ (рис.1.7).
Пусть дано a ^ b. Построим проекцию a ^ b на П ₁. AA ₁ ^ П ₁ (как проецирующий луч), следовательно, плоскость Г (AA ₁ Ç b) также перпендикулярна П ₁. Прямая а перпендикулярна плоскости Г, так как она перпендикулярна двум прямым AA ₁ и b, принадлежащим плоскости Г. Но a ₁ ½½ a (a ½½ П ₁) и, следовательно, a ^ Г, откуда A ₁ перпендикулярна любой прямой плоскости Г, в том числе и b ₁. Отсюда справедливо, что a ₁ ^ b ₁.
Это доказательство относится как к пересекающимся прямым, так и к скрещивающимся. Как видно из чертежа, если с Ì Г, а Г ^ Q, то c ₁ ^ a ₁.

3. Что такое эпюр Монжа или комплексный чертеж? Как он выполняется?

Эпюра Монжа или комплексный чертеж - это чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических фигур неудобно ввиду его громоздкости, а также из-за того, что при его переносе на лист бумаги, на плоскостях H и W происходит искажение формы и размеров проецируемой фигуры.
Поэтому вместо изображения на чертеже пространственного макета используется эпюра Монжа.

Эпюра Монжа получается преобразованием пространственного макета путем совмещения плоскостей H и W с фронтальной плоскостью проекций V:
- для совмещения плоскости H с V поворачиваем ее на 90 градусов вокруг оси x в направлении движения часовой стрелки. На рисунке, для наглядности, плоскость H повернута на угол чуть меньший 90 градусов, при этом ось y, принадлежащая горизонтальной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью z;
- после совмещения горизонтальной плоскости, поворачиваем вокруг оси z также на угол 90 градусов профильную плоскость в направлении противоположном движению часовой стрелки. При этом ось y, принадлежащая профильной плоскости проекции, после поворота совпадает с осью x.

Эпюра Монжа

После преобразования пространственный макет примет вид, показанный на рисунке. На этом рисунке указана также последовательность взаимного положения пол плоскостей проекций, так запись V[H(W)] указывает, что в этой части эпюра Монжа (ограниченного положительным направлением осей x и z) ближе к нам находится верхняя левая пола фронтальной плоскости проекции V, за ней располагается задняя левая пола горизонтальной плоскости проекции H, далее следует верхняя задняя пола профильной плоскости W.

Так как плоскости не имеют границ, то в совмещенном положении (на эпюре) эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие положение пол плоскостей проекций. Излишне также напоминать, где отрицательное направление координатных осей. Тогда, в окончательном виде эпюра Монжа, заменяющая чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.

4. Какое положение в пространстве может занимать точка? Приведите примеры построения на чертеже

Положение точки в пространстве (а следовательно, и любой геометрической фигуры) может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система отнесения.
Положение точки в пространстве, геометрической фигуры наиболее удобно для фиксирования и выявления ее формы по ортогональным проекциям в декартовой системе координат, состоящей из трех взаимно перпендикулярных плоскостей.

Положение точки в пространстве

При ортогональном проецировании точки А получаем:
А`– проекция точки А на плоскость H (горизонтальная проекция точки А);
А"– проекция точки А на плоскость V (фронтальная проекция точки А);
А"`– проекция точки А на плоскость W (профильная проекция точки А);
Координатой точки называется удаление точки от плоскости проекции:
А(x;y;z) - для задания положения точки необходимы три координаты;
A`(x;y);
A"(x;z);
A"`(y;z).

Положение точки в пространстве

Положение точки в пространстве может быть задано графически путем указания двух ее проекций - A`(x;y) и A"(x;z) здесь имеются все три координаты точки A. Линия соединяющая на эпюре проекции точки называется линией проекционной связи. Если координаты точки ≠ 0, то это точку называют точкой общего положения, если 1 или 2 координаты = 0, то точка называется точкой частного положения. На представленном рисунке:
- точки A и B общего положения, кроме того точка B принадлежит биссекторной плоскости;
- точки частного положения:
- точка CED принадлежит горизонтальной плоскости проекций H;
- точка E принадлежит фронтальной плоскости проекций V;
- точка D принадлежит профильной плоскости проекций W;

5. Какое положение в пространстве могут занимать прямые? Дайте им определение. Изобразите на комплексном чертеже прямую общего положения

Относительно заданных плоскостей проекций прямая может занять разные положения.

Прямую непараллельную, какой либо из основных плоскостей пр. назовем прямая общего положения.

Прямую параллельную, перпендикулярную 1ой из плоскостей пр., назовем прямая частного положения.

Прямую параллельную фронтальной плоскости проекций мы назовем фронталью.

Вот и все - расположение прямых в пространстве.

Прямые - параллельные 1ой из пл. проекций, назовем прямыми уровня. Наименование их зависит от той плоскости, которой они параллельны.

Прямую параллельную горизонтальной, заданной, плоскости проекций, назовем горизонталью

6. Дайте понятие конкурирующим точкам. Как применять метод конкурирующих точек при определении видимости

Это как две лошади на скачках - когда на тебя скачут, вроде вместе, а как сбоку посмотришь - сразу видно, кто впереди, кто сзади.

Вот и наша цель - суметь найти этот БОК, с которого видно, кто спереди, кто сзади))

Ну а теперь ботанем:

2 точки в пространстве могут расположиться по разному. Иногда они могут быть расположены так, что проекции их на плоскости проекций совпадут.

Такие точки называются конкурирующими точками.

На рис. а представлен комплексный чертеж точек А, В. Они находятся так, что проекции их совпадают на плоскости П1 [А1 == В1].

Такие точки назовем горизонтально конкурирующими.

Если проекции точек A и В совпадут на пл. П2 (рис. 64, б), они назовутся фронтально конкурирующими точками.

Если проекции точек А и В совпадут на плоскости П3 [А3 == B3] (рис. в), они назовутся профильно конкурирующими точками.

По конкурирующим точкам определяют видимость ребер на эпюре. У горизонтально конкурирующих будет видима та, у которой больше высота, у фронтально конкурирующих точек— та, у которой больше глубина, и у профильно конкурирующих точек — та, у которой больше широта. Вот так))

7. Какое взаимное положение могут занимать прямые? Изобразите их на комплексном чертеже

Параллельные прямые. Параллельные прямые - это прямые, лежащие в одной плоскости и никогда не пересекающиеся, сколько бы их не продлевали.
Параллельные прямые имеют параллельные одноименные проекции. Обычно по двум проекциям пары прямых можно сделать заключение о их параллельности, однако если эти две прямые параллельны профильной плоскости проекций, то без рассмотрения третьей проекции прямых ничего утверждать нельзя.

Пересекающиеся прямые. Это прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну точку пересечения. Линии пересекающиеся в пространстве проектируются в виде пересекающихся проекций, причем проекции точки пересечения будут лежать на одной линии связи перпендикулярной оси Х.

Скрещивающиеся прямые. Это прямые не параллельные и не пресекающиеся между собой. Эти прямые не имеют общей точки и не лежат в одной плоскости.

2 прямые пространства могут расположится по разному (рис.). Они могут совпасть а = b быть параллельными c|| d, пересечся т ^ n и скрещиваться (k° / l).

Когда две прямые параллельны,на комплексном чертеже (рис. а) их проекции будут параллельны.

Пусть две прямые пересекутся в точке М, проекции этой точки будут принадлежать одноименным проекциям прямых, то есть точки пересечения одноименных проекций пересекающихся прямых будут лежать на 1ой линии связи (смотрите рисунок):

Пусть две прямые скрещиваются их одноименные проекции будут пересекаться в точках, не лежащих на линии связи (рис в):

8. Дайте определение плоскости. Назовите способы задания плоскости

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки;

Положение плоскости в пространстве определяется:
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линий, рис.1
б) прямой и точкой, взятой вне прямой, рис.2
в) двумя пересекающимися прямыми, рис.3
г) двумя параллельными прямыми. рис.4

Каждое из представленных на рис. 1— 4 заданий плоскости может быть преобразовано в другое из них. Например, проведя через точки А и В (рис. 1) прямую, мы получим задание плоскости, представленное на рис. 2: от него мы можем перейти к рис. 4, если через точку С проведем прямую, параллельную прямой АВ.

рис.1 рис.2

рис.3 рис.4

Важное замечание!
Многие студенты, изучающие начертательную геометрию или инженерную графику, сталкиваются с проблемой: вроде бы читаешь текст в учебнике, а все равно не понимаешь темы! Одна из причин этого – это то, что человек не мыслит образно. В чем заключается этот метод образного мышления? Да все просто, читая текст, представляйте себе «картинку» объекта (сцены). Ну, например, читая слово плоскость или прямая, кто вам мешает плоскость представить в виде ровного куска стекла (рис.5), а прямую как очень тонкую трубу без изгибов! И таких примеров можно привести миллион. Используя метод образного мышления, вы сможете не только научиться правильно решать задачи по начертательной геометрии или инженерной графике, но и ускорять процесс работы! Например, вам нужно построить по двум видам (вид спереди и сверху) аксонометрию детали. Используя метод образного мышления, вы представляете себе будущий объем детали, понимаете, что часть невидимых линий совершенно не обязательно простраивать (рис.6). В данном случае достаточно просто показать те линии, которые будут видны! Тем самым вы раза в полтора ускоряете свою работу – это очень помогает на экзаменах, когда вы делаете работу не только за себя, но и за друга – балбеса).

рис. 5 рис. 6

Способ задания	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
а) тремя точками, не лежащими на одной прямой

б) прямой и точкой вне данной прямой
в) двумя параллельными прямыми
г) плоской фигурой
д) двумя пересекаю- щимися прямыми
е) следом: Р ^ a