Исследование температурной зависимости энергии Ферми методом термоэдс

1.Цель и содержание работы.

Изучить физическую сущность явления термоэдс, по данным измерения определить температурную зависимость коэффициента термоэдс, рассчитать энергию Ферми и эффективную массу плотности состояний, исследовать температурную зависимость энергии Ферми.

2.Теоретическое введение

2.1.Термоэлектрические явления в металлах

К термоэлектрическим явлениям относятся эффекты Зеебека, Пельтье и Томсона.

В 1823 г. Т.Зеебек установил, что в цепи, состоящей из двух разнородных проводников 1 и 2, возникает электродвижущая сила, если контакты этих проводников поддерживаются при различных температурах рис.1.

Рис.1.Появление тока в цепи разнородных проводников

В замкнутой цепи при этом возникает ток, называемый термоэлектрическим, а концах разомкнутой цепи появляется разность потенциалов, называемая термоэлектродвижущей силой. По имени первооткрывателя это явление получило название эффекта Зеебека.

В относительно небольшом температурном интервале термоЭДС пропорциональна разности температур контактов (спаев).

,

где – коэффициент пропорциональности дифференциальной или удельной термоЭДС. Значение зависит от природы соприкасающихся проводников и температуры.

Явление Пельтье, открытое в 1834 году,представляет собой эффект, обратный явлению Зеебека; сущность его состоит в том, что при прохождении тока в цепи, состоящей из различных проводников, в местах контакта в дополнение к теплоте Джоуля выделяется или поглощается (в зависимости от направления тока) некоторое количество тепла, пропорциональное прошедшему через контакт количеству электричества и некоторому коэффициенту П, зависящему от природы находящихся в контакте материалов, названному коэффициентом Пельтье.Причина возникновения явления Пельтье заключается в том, что средняя энергия электронов, участвующих в переносе тока в двух материалах, находящихся в контакте, различна, несмотря на то, что уровни их электрохимического потенциала совпадают. Рассмотрим контакт электронного полупроводника и металла. Предположим, что направление поля соответствует направлению перехода электронов из полупроводника в металл(Рис.2.)

Если бы электроны,находящиеся на примесных уровнях, могли бы точно также перемещаться под действием электрического поля, как электроны в зоне проводимости, то в среднем энергия электронов, участвующих в электрическом токе, в полупроводнике равнялась бы энергии электронов на уровне Ферми в металле.При таких условиях переход электронов в металл не нарушил бы теплового равновесияв последнем; ноэлектроны на примесных уровнях неподвижны, а энергия свободных электронов в зоне проводимости значительно выше энергии на уровне химического потенциала. Перейдя в металл, эти электроны опускаются до уровня Ферми, отдавая при столкновениях свою избыточную энергию атомам металла. Выделяющаяся при этом теплота и есть теплота Пельтье.Так как электроны приходят в тепловое равновесие в результате нескольких десятков соударений в непосредственной близости от контакта, то и вся теплота Пельтье выделяется почти на самом контакте. При противоположном направлении тока весь процесс идет в обратном направлении.

2.Схема расположения энергетических уровней на контакте полупроводника с металлом(ε - энергия, выделяющаяся в виде тепла при переходе одного электрона из полупроводника в металл

Если вдоль проводника, по которому протекает электрический ток, существует перепад температур, причем направление тока соответствует движению электронов от горячего конца к холодному, то, переходя из более горячего участка в более холодный, электроны передают избыточную энергию окружающим атомам, чем вызывают нагрев проводника- выделение тепла; при обратном направлении тока электроны, проходя из более холодного участка в более горячий, пополняют свою энергию за счет окружающих атомов. Этим объясняется явление Томсона.

2.2Явление термоэдс

ТермоЭДС в контуре складывается их трёх составляющих. Первая из них обусловлена температурной зависимостью внутренней контактной разности потенциалов U_i, которая связана с температурным изменением положения уровня Ферми. В металлах с увеличением температуры уровень Ферми, хотя и слабо, но смещается вниз по энергетической шкале. Поэтому на холодном конце однородного проводника он должен располагаться выше, чем на более нагретом. Следствием смещения уровня Ферми и является возникновение контактной составляющей термоэдс.

Дифференциальная термоэдс, соответствующая этой составляющей:

Вторая составляющая термоэдс, называемая объёмной, обусловлена диффузией носителей заряда от горячих спаев к холодным. Средняя кинетическая энергия электронов в металле также несколько изменяется с температурой.

Электроны, сосредоточенные на более горячем конце, обладают несколько большей кинетической энергией и большей скоростью теплового движения по сравнению с носителями заряда холодного конца. Поэтому они в большем количестве диффундируют в направлении температурного градиента. Диффузионный поток электронов в этом случае, перенося заряд из горячего конца в холодный, создаёт между ними разность потенциалов.

Третья составляющая эдс возникает в контуре вследствие увлечения электронов квантами тепловой энергии (фононами). Этот эффект открыт Л.Э.Гуревичем в 1945 г. и состоит в следующем. При наличии градиента температуры в проводнике возникает дрейф фононов от горячего конца к холодному, совершающийся с некоторой средней скоростью V_др

Существование такого дрейфа приводит к тому, что электроны, рассеиваемые на фононах, сами начинают совершать направленное движение от горячего конца к холодному примерно с той же скоростью V_др. Накопление электронов на холодном конце проводника и обеднение электронами горячего конца вызывает появление термоэдс.

При низких температурах эта составляющая термоэдс может в десятки и сотни раз превосходить объёмную и контактную составляющие.

И в однородном проводнике, т.е. изготовленном из одного металла, при наличии перепада температур на концах его также возникает разность потенциалов в силу рассматриваемых причин. Её значение, отнесённое к единичной разности температур, называется обсолютной удельной термоэдс.

В термопарном контуре относительная удельная термоэдс представляет собой разность абсолютных удельных термоэдс, составляющих проводников:

,

где и – абсолютные удельные термоЭДС контактирующих металлов A и B.

Квантовая теория твёрдого тела даёт следующее выражение удельной термоЭДС:

.

При комнатной температуре отношение имеет значение порядка 10^-3. составляет несколько мкВ/К.

Для определения абсолютных термоэдс в качестве эталона используют свинец, у которого термоэлектрические свойства выражены очень слабо, или платину, которая в чистом виде отличается высокой стабильностью свойств. Для нормального проводника горячий спай заряжается положительно (это характерно для многих простых металлов). Ток в горячем спае проводника и свинца направлен от проводника к свинцу. Термоэдс проводника в этом случае считается отрицательной.

2.3 Термоэдс в полупроводниках.

В полупроводнике при наличии градиента температуры возникают электронный и дырочный токи, которые обусловлены действием электрохимического потенциала.

Если полупроводник нагрет неравномерно, то средняя энергия носителей заряда и их концентрация в нём будет больше там, где выше температура. Градиент температуры в однородном полупроводнике приводит к градиенту средней энергии носителей заряда и градиенту их концентрации, вследствие чего возникает диффузионный поток носителей заряда, т.е. возникает электрический ток.

В разомкнутой цепи в стационарном состоянии плотность тока во всех точках образца равна 0. При измерении термоэдс на границах полупроводника и измерительных металлических электродов существуют контактные разности потенциалов, которые не равны друг другу, вследствие существующего температурного градиента. Измерительный прибор отметит эдс, равную термоэдс полупроводника и разности контактных потенциалов измерительных электродов.

Чтобы исключить последнее слагаемое, следует определить термоэдс, как градиент электрохимического потенциала:

,

где F – уровень Ферми, – электрохимический потенциал.

Величина равна разности контактных потенциалов в граничных точках, если считать, что полупроводник и металл на контакте находятся в термодинамическом равновесии, тогда дифференциальная термоэдс определяется как

.

Коэффициентом термоэдс обычно называется термоэлектрическая разность потенциалов, приходящаяся на один градус:

.

Полная плотность тока в полупроводнике из решения кинетического уравнения Больцмана для полупроводника со сферической симметрией зон и предположения, что рассеяние осуществляется на акустических фононах, может быть представлена выражением:

,

где n и p – концентрации электронов и дырок, µ_n и µ_p – соответствующие подвижности.

Полагая ток равным нулю, можно получить выражение для дифференциальной термоэдс полупроводника:

.

Выражения для концентрации электронов и дырок невырожденного полупроводника:

,

,

При абсолютном нуле температуры в собственном полупроводнике уровень Ферми (химического потенциала) проходит строго посередине между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны. С ростом температуры уровень Ферми изменяется по закону:

На рисунке 3 представлена температурная зависимость уровня Ферми в электронном полупроводнике.

Рис.3 Температурная зависимость уровня Ферми в полупроводнике п-типа

При температуре абсолютного нуля уровень Ферми находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем. Сростом температуры происходит ионизация примеси, электроны с донорного уровня переходят в зону проводимости, уровень Ферми при этом сначала поднимается, а затем,по мере роста температуры, начинает опускаться. При дальнейшем подъеме температуры основную роль начинает играть собственная проводимость, и дальнейший ход уровня Ферми совпадает с законом изменения его для случая собственной проводимости. Совершенно аналогичные выводы можно получить для примесного дырочного полупроводника (Рис.4). В этом случае при нуле температур уровень Ферми проходит посередине между потолком валентной зоны и акцепторным уровнем. При повышении температуры уровень Ферми поднимается выше акцепторных уровней, они оказываются заполненными электронами, перешедшими из валентной зоны. Уровень Ферми начинает приближаться к середине запрещенной зоны. Концентрация собственных электронов и дырок с ростом температуры увеличивается им основную роль начинает играть собственная проводимость.

Рис.4.Температурная зависимость уровня Ферми в полупроводнике р-типа

ТермоЭДС полупроводника определяется двумя слагаемыми, каждое из которых соответствует вкладу, вносимому электронами и дырками, причём эти слагаемые имеют противоположные знаки.

В случае электронного полупроводника на горячем конце возникает положительный объёмный заряд, поскольку электроны диффундируют от горячего конца к холодному. В случае дырочного полупроводника знак коэффициента термоЭДС обратный (Рис.5).

Рис.5. Распределение зарядов в полупроводниках п- и р- типов при наличии градиента температуры.

Для собственного полупроводника , поэтому величина термоэдс полупроводника с собственной проводимостью определяется лишь шириной запрещённой зоны и соотношением подвижностей электронов и дырок:

,

.

Формулы для определения коэффициента термоэдс для полупроводников “n”- и “p”-типа могут быть представлены в следующем виде:

,

,

При рассеянии носителей заряда на акустических фононах

При рассеянии на ионизированных примесях -

Для невырожденного электронного полупроводника с простой параболической зоной коэффициент термоэдс может быть определен из следующего выражения:

Эта формула была впервые выведена в 1940 году советским физиком Писаренко и носит его имя. Совершенно аналогичный, с точностью до знака,вид имеет выражение для термоэдс дырочного полупроводника:

В случае смешанной проводимости, когда электрический ток переносится электронами и дырками, термоэдс,как правило, значительно ниже.Если концентрация или подвижность носителей одного знака, например, электронов, больше, чем другого, то они диффундируют на холодный конец в большом количестве до тех пор, пока возникшее вследствие этого поле(тормозящее электроны и ускоряющее дырки) не уравняет оба потока. Коэффициент термоэдс в этом случае определяется выражением:

. Приведенное значение энергии Ферми при рассеянии на акустических фононах для полупроводника “n”-типа определяется выражением

.

Для дырочного полупроводника используется та же формула с учетом знака коэффициента термоэдс

В случае собственной проводимости коэффициент термоэдс имеет отрицательный знак, поскольку подвижность электронов больше, чем подвижность дырок и вклад электронной составляющей соответственно больше.

С ростом температуры значение коэффициента термоэдс при высоких температурах уменьшается, а в полупроводниках p-типа при температуре, близкой к температуре собственной проводимости, меняет знак.

На рисунке 6. представлены температурные зависимости коэффициентов термоЭДС в полупроводниках p- и n-типа.

Из эксперимента по определению коэффициента термоэдс можно рассчитать эффективную массу плотности состояний.

Рис.6.Экспериментальные зависимости термоэдс от температуры образца германия при низких (а) и высоких температурах (б):

кривая 1 – ,

кривая 2 – ,

кривая 3 – ,

кривая 4 – ,

кривая 5 – ,

кривая 6 – .

3. Описание экспериментальной установки

Температурная зависимость коэффициента термоэдс исследуется на программно-аппаратном комплексе, структурная схема которого показана на рис.7.

Рис. 7 Блок-схема лабораторной установки «Исследование температурной зависимость коэффициента термоэдс»

Для получения зависимости термоэдс от температуры образец германия (рис.8) с размерами 1.4х4.5х15 мм³ помещается в трубчатую печь.

Рис.8. Схема расположения измерительных элементов на образце.

Один из концов образца подогревается с помощью приклеенного резистора для поверхностного монтажа SMD 1210 100 Ом. Цифровой регулятор температуры, реализованный на микроконтроллере (МК), поддерживает заданный градиент температуры вдоль образца на уровне 1-3°С. На торцах образца нанесены индиевые контакты, с помощью которых производится измерение термоэдс. Для изучения температурной зависимости термоэдс, печь в течение 30-40 минут линейно нагревается от комнатной температуры до 410 К. В процессе нагрева образца через заданный температурный интервал осуществляется измерение температуры образца, разности температур и термоэдс. Температура образца Т измеряется термопарой медь-константан, второй конец которой находится при комнатной температуре. Разность температур dT измеряется дифференциальной термопарой медь-константан присоединенной к торцам образца. Все сигналы, поступающие с образца (T, dT, термоэдс), с помощью аналого-цифрового преобразователя (АЦП) преобразуются в цифровую форму и поступают далее в МК и ЭВМ. Управление и контроль за процессом исследования температурной зависимости термоэдс осуществляется с помощью лицевой панели лабораторной установки содержащей элементы пользовательского интерфейса, внешний вид которой показан на рис.9.

Рис.9. Лицевая панель лабораторной установки.

В блоке «Задание начальных условий» лицевой панели задается разность температур холодного и горячего концов образца (dT) и температурный интервал, с которым будет проходить регистрация результатов. Полученные значения отображаются в таблице результатов измерения и в виде графиков зависимости величины термоэдс и dT от температуры. Независимо от величины установленного шага измерения результаты измерений непрерывно выводятся в блоке «Текущее состояние образца». Эти данные позволяют осуществлять оперативный контроль за ходом измерения. Основные элементы управления сосредоточены в блоке «Управление измерением».

4. Методика проведения измерений

1. Включить компьютер, блок измерения. Для обеспечения стабильной работы электронных блоков и получения воспроизводимых результатов измерения необходимо осуществить прогрев приборов не менее 10 минут.

2. Установить в блоке «Задание начальных условий» разность температур холодного и горячего концов образца и заданный шаг измерения.

3. Произвести калибровку измерительной системы. Калибровка необходима для исключения аддитивной и мультипликативной погрешностей измерительной системы. Нажать кнопку «Calib» блока «Управление измерением». Через несколько секунд загорится индикатор, что означает завершение процесса калибровки.

4. Включить разность температур. Внимание! Нельзя переходить к следующему пункту пока разность температур не достигнет заданного значения и колебания температуры относительного заданного значения превышают ±0.02 К. Контроль за температурой осуществлять по индикатору «Разность температур» блока «Текущее состояние образца».

5. Включить нагрев образца. С этого момента начинается запись температурной зависимости разности температур холодного и горячего концов образца(dT)и величины термоэдс с заданным температурным интервалом в таблицу и отображение этой зависимости на графике.

6. Если процесс измерения температурной зависимости не завершить вручную кнопкой «Нагрев образца», то он завершиться автоматически при достижении температуры 410 К.

7. Сохранить результаты измерения (кнопка «Save»).

8. Питание блока измерения можно выключить только тогда, когда температура образца будет менее 310 К.

5. Порядок выполнения работы.

1. Измерить термоэдс полупроводника, не включая общий подогрев.

2. Провести измерения температурной зависимости коэффициента термоэдс.

Построить график.

3. Рассчитать значение приведенной энергии Ферми (F^*). Построить график температурной зависимости приведенного уровня Ферми.

4. Построить ход температурной зависимости уровня Ферми в рамках зонной диаграммы полупроводника.

5. Рассчитать эффективную массу плотности состояний при комнатной температуре.

6. Содержание отчёта.

1. Принципиальная схема установки. Расчетные формулы.

2. Таблица измеренных величин.

3. График зависимости коэффициента термоэдс от температуры.

4. График температурной зависимости приведенного значения уровня Ферми.

5. График зависимости уровня Ферми от температуры (за начало отсчета энергии выбрать середину запрещенной зоны).

6. Расчёт эффективной массы плотности состояний.

7. Выводы.

Примечание. В лабораторной работе используется образец германия с концентрацией носителей заряда 4*10¹⁵см^-3.

Контрольные вопросы.

1. Физическая сущность эффекта Зеебека.

2. Составляющие термоэдсв металлах.

3. Что представляет собой относительная удельная термоэдс в термопарном контуре?

4. Какой материал используется в качестве эталона для определения абсолютной термоэдс?

5. Объяснить возникновение зарядов на горячем и холодном концах образцов полупроводников p- и n-типа проводимости.

6. Что называется коэффициентом термоэдс?

7. Как связаны дифференциальная термоэдс и уровень Ферми?

8. Объяснить температурную зависимость уровня Ферми в полупроводниках n- и p-типов.

9. Объяснить ход температурной зависимости коэффициента термоэдс в широком диапазоне температур в полупроводниках n- и p-типа.

10. В каких полупроводниках и при каких условиях коэффициент термоэдс может быть равен 0?

11. В области каких температур график зависимости проходит через “0” для полупроводника p-типа?

12. Для образца р-типа какого полупроводникового материала: Ge или Si температура, при которой график проходит через “0”, будет выше?

13. Объяснить, почему в полупроводниках величина термоэдс больше, чем в металлах.

Список литературы.

1. Павлов П.В.,Хохлов А.Ф.Физика твердого тела.Высшая школа, 2000

2. Шалимова К.В. Физика полупроводников.-М.:Энергоиздат,1985

3. Смит Р.Полупроводники.-М.:Мир,1982

4. Рывкин С.М.Фотоэлектрические явления в полупроводниках.-М.:Физматгиз,1963