Постановка задачи и ее решение. Для решения задачи воспользуемся геометрическим истолкованием определенного интеграла: интеграл

Для решения задачи воспользуемся геометрическим истолкованием определенного интеграла: интеграл

численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой y(x), прямыми x=a, x=b и отрезком [a; b] оси Ox (рис.1):

Рис. 1

Формула Симпсона

с геометрической точки зрения означает, что график функции y(x) заменен другой кривой j(x), состоящей из дуг парабол: каждая сдвоенная дуга кривой y(x) заменяется параболой (рис.2):

Рис. 2

На рис.2: отрезок [a; b] разделен на четное число 2n, n=1,2, … равных отрезков точками x₁, x₂, …, x_2n-1;

y₀, y₁, y₂, …, y_2n значения функции y(x) в точках x₀, x₁, x₂, …, x_2n;

точки x₁, x₃, …, x_2n-1 - середины сдвоенных отрезков [x₀, x₂], [x₂, x₄], …,

[x_2n-2, x_2n];

j(x) - кривая, составленная из дуг парабол.

За приближенное значение интеграла I принимается площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой j(x), прямыми x=x₀, x=x_2n и отрезком [x₀, x_2n].

Таким образом, решение задачи о приближенном вычислении определенного интеграла сводится к программированию алгоритма вычисления площади криволинейной трапеции по формуле Симпсона.

Пример. Вычислить по формуле Симпсона интеграл .

Составим программу:

program Simpson;

USES crt;

VAR x,a,b,h,s:real;

n:integer;

FUNCTION Y(p:real):real;

begin

Y:=1/(1+p*p);

end;

BEGIN

clrscr;

write(' Отрезок интегрирования [a,b]? ');

read(a,b);

write(' На сколько частей разбиваем отрезок интегрирования? n=');

read(n);

h:=(b-a)/n;

s:=0; x:=a+h;

while x<b do

begin

s:=s+4*Y(x);

x:=x+h;

s:=s+2*Y(x);

x:=x+h;

end;

s:=h/3*(s+Y(a)-Y(b));

writeln;

writeln(' Интеграл равен I=',s);

END.

В программе: подынтегральная функция y(x) оформлена как функция Turbo Pascal (в разделе FUNCTION); n - число частичных отрезков (четное); h - длина каждого частичного отрезка; в переменную s записывается приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле Симпсона.

Листинг программы с результатами расчетов представлен в приложении (см рис.П.15, рис.П.16).

Варианты заданий

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА