Пересечение цилиндра плоскостью общего положения

ВЫПОЛНЕНИЕ ЗАДАЧ ЭПЮРА 3.

Задача 1. Построить проекции и истинный вид сечения цилиндра плоскостью общего положения Т (АВСД).

1. Для преобразования секущей плоскости Т в проецирующую введем новую плоскость П4 вместо П2. П2 → П4. Плоскость П4 вводится перпендикулярно плоскости П1; П₄ ^ П₁, П4 ^ h1; на чертеже новая ось Х 1,4 ^ h1.

2. В новой плоскости П4 построим новую фронтальную проекцию цилиндра. Для этого проведем вспомогательную плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтали секущей плоскости и проходящую через ось вращения цилиндра. å^ h.

å₁ - прямая, ∑1 ^ h1.

На основании цилиндра отметим точки А₁ и В₁ – горизонтальные проекции новых образующих АА' и ВВ'. Построим эти образующие в плоскости П₄: т.А₄, В₄ лежат на оси Х_1,4. А₄А'₄ = В₄В'₄ – высота цилиндра. А₄А'₄В'₄В₄ – новая фронтальная проекция цилиндра.

Аналогично построим «старые» образующие СС¢ и DD¢. Точки С₄ и D₄ лежат на оси Х_1,4. С₄С¢₄ = D₄D¢₄ - высота цилиндра.

3. В системе плоскостей проекций П₁/П₄ секущая плоскость Т занимает фронтально проецирующее положение, ее фронтальная проекция Т₄ – прямая.

Для построения прямой достаточно иметь две точки, например М и N.

Пусть точка М – пересечение фронтали и горизонтали плоскости Т.

М₁ = М₂ и совпадают с осью Х_1,2. Точку N возьмем произвольно на фронтали f. N₂ Î f₂, N₁ Î f₁.

Из т. М₁ и N₁ проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х_1,4, и на их продолжении от новой оси откладываем координаты Z точек М и N. Z_М = 0; Z_N = N₁N₂.

Прямая М₄N₄ – новая фронтальная проекция секущей плоскости Т.

4. Секущая плоскость пересекает все образующие цилиндра, поэтому сечение – эллипс, на плоскости П₄ совпадающий со следом М₄N₄ секущей плоскости Т.

Наивысшая точка сечения – точка 1. 1₄ = М₄N₄ ∩ В₄В'₄.

Наинизшая точка сечения – точка 2. 2₄ = М₄N₄ ∩ А₄А'₄.

Очерковые точки 3 и 4. 3₄ = М₄N₄ ∩ D₄D'₄; 4₄ = М₄N₄ ∩ С₄С'₄.

Горизонтальные 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ проекции точек находим по их принадлежности к горизонтальному очерку цилиндра. Фронтальные 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ проекции точек линии сечения определяем по их принадлежности к соответствующим образующим, отложив от оси Х_1,2 вверх высоту каждой точки: 1₂В₂ = 1₄В₄, 2₂А₂ = 2₄А₄, 3₂D₂ = 3₄D₄, 4₂С₂ = 4₄С₄.

Проводя линии связи через горизонтальный очерк цилиндра, получаем две дополнительные точки 3¢ и 4¢. Их фронтальные проекции определяются по высоте точек 3 и 4.

5. На секущей плоскости М₄N₄ произвольно определим еще две точки 5₄ и 6₄ 5₄ Î М₄N₄, 6₄ Î М₄N₄

Находим их горизонтальные 5₁, 6₁ и фронтальные 5₂, 6₂ проекции по принадлежности точек к поверхности цилиндра. По аналогии с точками 3 и 4 для точек 5 и 6 на горизонтальной проекции цилиндра получаем дополнительные точки 5¢ и 6¢. Определяем их фронтальные проекции.

6. Последовательно соединив все полученные точки сечения на плоскости П₁ и П₂ построим горизонтальную и фронтальную проекции сечения. Определяем видимость сечения на П₁ и П₂.

7. Для определения натуральной величины сечения введем еще одну вспомогательную плоскость П₅. П₁ → П₅; П₅ ^‌ П₄; П₅? Т.

На чертеже ось Х_4,5 параллельна следу М₄N₄ секущей плоскости Т.

8. В новую плоскость П₅ проецируем точки 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Для этого из 1₄, 2₄, 3₄, 4₄, 5₄, 6₄ проводим линии проекционных связей, перпендикулярные к оси Х_4,5 и на их продолжении откладываем отрезки, равные расстояниям от оси Х_1,4 до заменяемых точек 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6₁. Получаем точки 1₅, 2₅, 3₅, 4₅, 5₅, 6₅, соединяем их плавной линией. Построенный эллипс - натуральная величина сечения.

Натуральную величину сечения можно определить проще, если построить сначала большую ось эллипса; ее горизонтальная проекция совпадает на П₁ с проекцией прямой АВ (А₁В₁). В плоскости П₅ находим точки 1₅ и 2₅, отложив от оси Х_4,5 по линиям связи расстояния 1₁В₄ = 2₁А₄. Соединив полученные точки, получаем новую горизонтальную проекцию большой оси эллипса. Теперь измеряем расстояния от прямой 1₁2₁ до точек 3₁, 4₁, 5₁, 6₁ и откладываем их от прямой 1₅2₅ по соответствующим линиям связи в обе стороны. Полученные точки соединяем плавной линией.

Пересечение конуса плоскостью общего положения

Задача 2. Построить проекции и истинный вид сечения конуса плоскостью общего положения Т(АВС).

Задача решается аналогично Задаче №1.

РЕШЕНИЕ

1. Для преобразования секущей плоскости Т в проецирующую, введем новую плоскость П₄ вместо плоскости П₂ (П₂ → П₄), перпендикулярно к оставшейся плоскости П₁ и перпендикулярно к горизонтали секущей плоскости, П₄ ^ П₁, П₄ ^ h.

В плоскости Т(А,В,С) строим горизонталь: h₂? ОХ, h₁ – по принадлежности к ΔАВС. На чертеже новую ось Х_1,4 проводим перпендикулярно h₁. Х_1,4 ^ h₁.

2. В плоскости П₄ построим новую фронтальную проекцию конуса. Для этого проведем вспомогательную плоскость Σ(Σ₁), перпендикулярную к горизонтали секущей плоскости и проходящую через ось вращения конуса. Т.к. Σ ^ П₁, то Σ₁ – прямая, Σ₁ ^ h₁.

На основании конуса отметим точки М и N – пересечение вспомогательной плос-кости Σ с основанием конуса, SM и SN - полученные при этом новые очерковые образующие.

Построим проекции этих образующих S₁M₁ и S₁N₁, S₂M₂ и S₂N₂, S₄M₄ и S₄ N₄. (S₂O₂ = S₄O₄ – высота конуса).Δ М₄S₄N₄ – новая фронтальная проекция конуса.

3. В системе плоскостей проекций П₁/П₄ секущая плоскость Т занимает фронталь-но - проецирующее положение, ее фронтальная проекция Т₄ – прямая.

Для построения прямой достаточно иметь две точки, например, В и С.

Из т. В₁ и С₁ проводим линии проекционных связей перпендикулярно оси Х_1,4, и на их продолжении от новой оси Х_1,4 откладываем координаты Z точек В и С.

Z_В = В_ХВ₂, Z_С = 0, С₄ Î Х_1,4, т.к. С₂ Î Х_1,2.

Прямая С₄В₄ – новая фронтальная проекция секущей плоскости Т.

4. Секущая плоскость пересекает все образующие конуса, поэтому сечение – эллипс, на плоскости П₄ совпадающий со следом С₄В₄ секущей плоскости Т.

Наивысшая точка сечения – точка 1, 1₄ = С₄В₄ ∩ М₄S₄.

Наинизшая точка сечения – точка 2, 2₄ = C₄B ₄ ∩ N₄S₄.

Для определения очерковых точек построим в плоскости П₄ очерковые образу-ющие KS и LS (К₄S₄ и L₄S₄).

Очерковые точки 3 и 4. 3₄ = С₄В₄ ∩ K₄S₄; 4₄ = С₄В₄ ∩ L₄S₄.

Горизонтальные 1₁, 2₁, 3₁, 4₁ и фронтальные 1₂, 2₂, 3₂, 4₂ проекции точек линии сечения определяем по их принадлежности к соответствующим образующим.

5. Возьмем еще две промежуточные точки 5 и 6 линии сечения, 5₄ Î C₄B₄, 6₄ Î C₄B₄

Находим их горизонтальные 5₁, 6₁ и фронтальные 5₂, 6₂ проекции по принадлежности точки поверхности конуса. Для нахождения проекций 6₁ и 6₂, через проекцию 6₄ точки 6 проводим вспомогательную плоскость Г(Г₄), параллельную основанию конуса. Плоскость Г рассекает конус по окружности радиуса R.

Теперь из центра О₁ ≡ S₁ проводим окружность радиуса R и проецируем на эту окружность точку 6₄. Получаем точки 6₁ и 6₁′, из этих точек проводим линии проекционной связи перпендикулярно оси Х_1,2 и откладываем на них от оси расстояния, равные высоте точки 6. Аналогично строим точку 5.

6. Последовательно соединив все полученные точки сечения на плоскости П₁ и П₂, построим горизонтальную и фронтальную проекции сечения. Определяем видимость сечения. На плоскости П₁ вся линия сечения видима, а на плоскости П₂ точки 3₂ и 4₂ являются точками смены видимости, поэтому видимая линия 3₂5₂4₂′2₂4₂, а невидимая - 4₂5₂′3₂′1₂3₂.

7. Для определения натуральной величины сечения введем еще одну вспомогательную плоскость П₅. П₁ → П₅; П₅ ^ П₄; П₅? Т.

На чертеже ось Х_4,5 параллельна следу С₄В₄ секущей плоскости Т.

8. В новую плоскость П₅ проецируем точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Для этого из 1₄, 2₄, 3₄, 4₄, 5₄, 6₄ проводим линии проекционных связей, перпендикулярные оси Х_4,5 и на их продолжении от оси Х_4,5 откладываем отрезки, равные расстояниям от оси Х_1,4 до заменяемых точек 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁ и 6₁. Получаем точки 1₅, 2₅, 3₅, 4₅, 5₅, 6₅, соединяем их плавной линией. Построенный эллипс - натуральная величина сечения конуса плоскостью Т.

Проще найти натуральную величину сечения, построив сначала большую ось эллипса - отрезок 1,2. Строим проекции 1₅ и 2₅ точек 1 и 2: отрезок 1₅2₅ – натуральная величина большой оси эллипса. Проводим линии проекционной связи из точек 3₄, 4₄, 5₄, 6₄ и в обе стороны от оси 1₅2₅ откладываем расстояния, равные расстояниям от прямой 1₁2₁ до точек 3₁, 4₁, 5₁, 6₁ соответственно.