Эллипс

Элипсом называется множество всех точек плоскости, сумма растояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусами.

М(х;у) F₁M = r₁

F₂M = r₂

r₁ r₂

F₁(-c;0) 2c F₂(c;0)

директриса элипса

Обозначим фокусы F₁ и F₂, расстояние между ними через 2С, а сумму расстояний от произвольной точки элипса до фокусов через 2А. Согласно определению │МF₁│+

+│MF₂│ = 2A

(3)

По сути это и есть уравнение эллипса.

Привидем уравнение (3) к более простому виду:

так как а>с, то а²-с²>0, значит:

(4)

Получим: b²x² + a²y² = a²b², отсюда находим, что

(5)

Уравнение (5) называется каноническим уравнением эллипса. Форма эллипса зависит от отношения b к а. При b=а эллипс превращается в окружность. Уравнение эллипса принимает вид: х² + у² = r²

В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением с\а. Отношение с\а – половина расстояния между фокусами к большой полуоси эллипса называется эксцентриситетом.

(6)

Причем 0<ε<1, так как 0<с<а; r₁ = r₂ называются локальными радиусами