Решение задач с использованием MathCad

Пример 1. Действия с матрицами

Вычислим матрицу 2A-BA, где и .

Вычислим матрицу 2A - BA.

Определим матрицу A размерности 3 x 2:

Чтобы определить матрицу, введите с клавиатуры имя матрицы и знак присваивания (его можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели EvaluationToolbar панели математических инструментов). Затем щелкните по кнопке MatrixorVectorToolbar в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами. Откройте щелчком по кнопке MatrixorVector окно диалога InsertMatrix, определите число строк (Rows) и число столбцов (Columns) и закройте окно диалога, щелкнув по кнопке Ok.

Определим матрицу B размерности 3 x 3:

Вычислим матрицу C=2A размерности 3 x 2:

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Знак умножения можно ввести, используя клавишу <*>.

Для просмотра результата умножения введите после имени матрицы C знак равенства, используя клавишу <=>.

Вычислим матрицу D=BA размерности 3 x 2:

Вычислим матрицу 2A-BA размерности 3 x 2, равную матрице C-D:

Пример 2. Проверка перестановочности матриц

Проверим, что матрицы и перестановочны, а матрицы А и неперестановочны.

Проверка перестановочности матриц A и B, A и C

Определим матрицы A, B и C:

Найдем произведения матриц AB и BA

Знак умножения можно ввести, используя

клавишу <*>.

Для просмотра результата умножения введите знак равенства, используя клавишу <=>.

Матрицы A и B перестановочны, т.к. AB=BA.

Найдем произведения матриц AC и CA

Матрицы A и C неперестановочны, т.к.

Пример 3. Умножение матрицы на матрицы специального вида

Умножим матрицу на единичную, скалярную и матрицы

и .

Умножим матрицу A на единичную, скалярную матрицы и матрицы С12, С23.

Определим матрицу A:

Сформируем единичную матрицу E и скалярную матрицу E2 порядка 3 с помощью встроенной функции identity(n) Mathcad:

Знак присваивания можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Evaluation.

Для просмотра результата введите знак равенства после имени матрицы, используя клавишу <=>.

Умножение матрицы A на единичную матрицу

Знак умножения можно ввести, используяклавишу <*>.

Умножение матрицы A на число, умножение на скалярную матрицу E2:

Таким образом, умножением матрицы на скалярную матрицу можно реализовать операцию умножения матрицы на число.

Перестановка строк и столбцов матрицы осуществляется умножением на матрицы специального вида. Покажем это на примере матрицы A.

Определим матрицы C12 и C23:

Перестановка двух строк матрицы A:

Перестановка двух столбцов матрицы A:

Пример 4. Возведение матрицы в степень

Для матрицы найдем A⁰, A¹, A².

Для матрицы A найдем матрицы .

Определим матрицу A:

Возведем матрицу A в степень 0, 1, 2:

Для возведения матрицы в степень по соответствующей позиции панели CalculatorToolbar панели математических инструментов.

Для просмотра результата введите знак равенства, используя клавишу <=>.

Пример 5. Обращение матрицы

Проверим, что матрица невырождена и найдем матрицу A^-1.

Проверим, что матрица A невырождена и найдем обратную матрицу

Определим матрицу A:

Найдем определитель матрицы A:

Для нахождения определителя матрицы, воспользуйтесь нопкойDeterminant в панели MatrixorVectorToolbar.

Для просмотра результата введите знак равенства, используя клавишу <=>.

М атрица A невырождена, т.к. ее определитель не равен 0; следовательно, обратная матрица существует.

Найдем матрицу :

Для нахождения обратной матрицы, воспользуйтесь кнопкой Inverse в панели MatrixorVectorToolbar.

Найдем и :

Знак умножения можно ввести, используя клавишу <*>

Пример 6. Ортогональная матрица

Проверим, что матрица ортогональна.

Проверим, что матрица U ортогональна (используя символьные вычисления Mathcad)
Определим матрицу U:

Для определения символьной матрицы введите с клавиатуры ее имя, символьный знак равенства < = > (его можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели BooleanToolbar). Затем щелкните по кнопке MatrixorVectorToolbar в панели математических инструментов, чтобы открыть панель операций с матрицами и векторами. Откройте щелчком по кнопке MatrixorVector окно диалога InsertMatrix, определите число строк (Rows) и число столбцов (Columns) и закройте окно диалога, щелкнув по кнопке Ok. После этого введите элементы матрицы.

Символ a можно ввести щелчком по соответствующей позиции в панели Greek SymbolToolbar.

Убедимся, что матрица U невырождена:

Символьные операция вычисления определителя выполняется через меню символьных операций Symbolics. Заключите символьную матрицу в выделяющую рамку (щелкните по любому элементу и нажимайте клавишу <Space> пока выделяющая рамка не охватит всю матрицу), затем выберите операцию Determinant в пункте Matrix меню Symbolics.

Чтобы упростить выражение для определителя матрицы U, заключите выражение в выделяющую рамку и выберите пункт Symplify в меню Symbolics.

Найдем обратную матрицу и транспонированную матрицу

Символьные операции транспонирования и обращение выполняются через меню символьных операций Symbolics. Заключите символьную матрицу в выделяющую рамку (щелкните по любому элементу и нажимайте клавишу <Space> пока выделяющая рамка не охватит всю матрицу), затем выберите нужную операцию в пункте Matrix меню Symbolics.