Учёт гетерогенности в расчётах реактора

Введение. Основным фактором, увеличивающим сложность расчёта параметров ядерного реактора, является неоднородность активной зоны, вызванная наличием в ней материалов с различными физическими свойствами, а также способом их расстановки. В этом аспекте лишь регулярное нарушение однородности (гомогенности), т.е. равномерная расстановка топливных блоков, позволяет использовать известные теоретические подходы и методы решения к расчёту таких усложнённых систем, т. е., в общем случае, гетерогенных ядерных реакторов. А в практике нейтронно-физических расчётов требование учёта гетерогенных эффектов является, за исключением гомогенных реакторов, повседневным. Гетерогенная теория рассматривает реакторы с однородным замедлителем, в котором, в общем случае, произвольно, но с осями, параллельными друг другу, расположены блоки с топливом и стержни СУЗ.

Условно гетерогенные эффекты, проявляющиеся в ядерном реакторе, можно разделить на несколько уровней. По отношению ко всем реакторам с вертикальным размещением топливных твэлов в ТВС гетерогенные эффекты можно определить как макрогетерогенность, оцениваемую величиной коэффициентов диффузии в продольном (т. е. вверх по течению теплоносителя) и в поперечном направлениях (т. е. в плоскости активной зоны). Эти коэффициенты вычисляются как некоторые средние величины, взвешенные с соответствующими весовыми функциями, рассчитанными для обычных гомогенизированных систем.

Гетерогенная теория требует размещения блоков в решётке не ближе 2-3 длин свободного пробега нейтронов в однородном замедлителе, чтобы свойства отдельного блока не зависели от свойств и расположения других блоков. Поэтому основное требование гетерогенной теории состоит в выполнении неравенства , где - расстояние между блоками, l – длина свободного пробега нейтронов в замедлителе. Тогда его свойства могут быть определены на основе более точных недиффузионных расчётов, а взаимодействие блоков определяется некоторыми функциями влияния, зависящими лишь от свойств замедлителя и имеющими асимптотический, т.е. диффузионный вид. Этот подход определяет уровень т. н. регулярной (или основной) гетерогенности.

Наконец, самый усложнённый уровень размещения топлива имеет место в активной зоне высокотемпературных газоохлаждаемых реакторов HTGR с шаровыми твэлами, куда они засыпаются. Он определяет уровень двойной гетерогенности, в котором регулярность сохраняется лишь на уровне шарового твэла.

Расчёт характеристик отдельного топливного блока. Недиффузионный расчёт основывается на использовании интегрального уравнения переноса нейтронов и различных его модификаций в качестве точных уравнений для получения требуемого решения. Рассмотрим эту задачу в односкоростном приближении и для поиска решения воспользуемся интегральным уравнением переноса нейтронов:

(1),

в котором обозначены:

• - интегральный по всем углам поток нейтронов, вычисляемый с учётом углового распределения ;

• - ядро интегрального уравнения;

• - оптический путь вдоль луча ;

• - изотропный источник;

• - полное макроскопическое сечение.

Рассмотрим многозонный цилиндрический топливный блок в бесконечной по высоте цилиндрической ячейке реактора с конечным радиусом R, вне которого находится бесконечный замедлитель с нулевым сечением поглощения и с тем же полным сечением, что и у замедлителя во внешней зоне ячейки. Его наличие с =0 обеспечивает возврат нейтронов в ячейку с изотропным угловым распределением. Разобъём ячейку по ради-усу R на N тонких слоёв (внешний слой - (N+1)-й) так, чтобы в каждом слое поток можно было заменить его средним значением . В уравнении (1) произведём замену ранее определённого потока на плотность эмиссии нейтронов

(2).

В итоге уравнение (1) сводится к следующему виду:

, (3)

интеграл в уравнении (3) разбивается на сумму интегралов по кольцевым слоям объёма , сечения в которых приняты постоянными. Интегрируя (3) также по кольцевым слоям объёма -го слоя, получаем в итоге уравнение:

, (i = 1, N+1), (4)

где величина представляет собой вероятность для нейтронов, рождённых от однородных и изотропных источников в j -м слое испытать своё первое столкновение в i-м слое (метод ВПС). Она вычисляется по формуле:

. (5)

Среднеобъёмная плотность эмиссии нейтронов определяется по аналогичной формуле для потока нейтронов. При этом имеют место следующие нормировки:

1) полная вероятность испытать столкновение во всём объёме равна: ; (6);

2) соотношение баланса ; (7);

3) из симметрии ядра следует соотношение симметрии (взаимности) для вероятности :

. (8)

Для внешнего слоя ячейки i = N+1 с учётом нормировок (7) и (8) можно исключить величину из системы уравнений (4): , (9)

что даёт возможность вычислять вероятности лишь для >j.

Сами вероятности равны (10)

и характеризуют вероятности первых столкновений внутри ячейки с учётом эффекта возврата нейтронов из наружного слоя замедлителя (рассеивателя). При этом придавая параметру θ значения в интервале от 0 до 1, можно задавать величины альбедо внешнего слоя, в частности, θ = 0 соответствует границе с вакуумом.

Вычисление вероятностей для топливного блока основано на применении метода вероятностей первого столкновения (ВПС). В этих расчётах основным является вычисление оптических путей пролёта нейтронов до столкновения, т. е. учёт реальной геометрии блока. С учётом этого определения вероятность первых столкновений для этого типа ячейки имеет вид:

, (11)

а коэффициенты С _i,j определяются по формуле:

, (12),

Поиск решения для цилиндрической геометрии осуществляется применением функций Бикли, которые определяются формулой:

. (13)

Для цилиндрически–симметричных областей ячейки интегралы C_ik не зависят от азимутального угла φ, поэтому получаем:

. ( 14 )

В формулах (12, 14) величина τ определяет оптический путь нейтрона в поперечной плоскости, т.е. в плане от оси «0х», перпендикулярной оси «0у», до его пересечения с окружностью радиусом ρ_к.

Эффективное граничное условие. Полученное для неограниченной среды замедлителя с одиночным топливным блоком точное решение является регулярным и включает в себя переходную функцию, затухающую на расстояниях от блока порядка длины пробега нейтронов, и асимптотическую функцию , удовлетворяющую уравнению диффузионного типа. Решение последнего определено, если задано граничное условие на поверхности блока:

, (15)

в котором - асимптотическая функция, равная

, (16)

где u₀ - характеристика блока, однозначно связанная с и Г и необходимая для получения экстраполированной длины к поверхности однозонных (с одним материалом) чёрных и серых блоков:

. (17)

Коэффициент А (полная амплитуда регулярного решения) фиксирован и может быть найден из требования наименьшего отклонения от точного решения в асимптотической области замедлителя.

«Чёрные» поглощающие блоки дают наиболее жёсткий тест для проверки расчётных методов. Для однозонного чёрного блока размером (ρ - радиус блока) при (параметр учёта поглощающих свойств замедлителя) в работе А. Кавеноки для уточнения величины Г предложена аппроксимационная формула для случая с=1:

. (18)

Решётки твэлов. Дальнейшие расчёты по учёту гетерогенных эффектов опираются уже на результаты применения теории решёток, которая оперирует с бесконечной решёткой, не связанной с утечкой из реактора, или с ячейкой, как элементом её периодичности. Рассмотрим простые и сложные решётки. В простой решётке ячейка состоит из одного твэла (обычно цилиндрической формы) с окружающим его теплоносителем и замедлителем. Ячейка сложной решётки состоит из технологического канала, включающего в себя сборку твэлов (ТВС) или набор стержней СУЗ, трубу, рассчитанную на полное давление теплоносителя, и окружающего канал замедлителя. По этой причине сложные решётки называют также канальными (для РБМК). Простые решётки, в свою очередь, делятся на разреженные (например, тяжеловодные) и тесные (для ВВЭР). Сложная решётка содержит элементы разреженной, образованной технологическими каналами, и тесной, образованной твэлами внутри решётки. Так как в бесконечной решётке все ячейки находятся в одинаковых условиях, то для получения решения можно рассмотреть только одну ячейку, а влияние соседних учесть условием симметрии или зеркального отражения на границе ячейки.

Разреженная решётка. Методы расчёта решёток топливных блоков основываются на применении метода ВПС с его модификациями. Рассмотренная выше задача относится к разреженным решёткам, в ячейках которых размещены одиночные топливные блоки. Условие разреженности решетки может быть записано в виде , где - средний путь нейтрона в замедлителе, а величина определяет длину свободного пробега до рассеяния в той же среде (Мне кажется более физичным соотношение ). В случае сферически симметричного рассеяния и изотропности источников вероятность для нейтрона, родившегося или рассеявшегося в точке r объёма , попасть в телесный угол и пройти в нём путь до поверхности без столкновений равна . Интегрируя по всем направлениям и по всему объёму , получаем вероятность вылета нейтрона без столкновения:

. (19)

Переходя к интегрированию по элементарному объёму с длиной и поперечным сечением , получаем более удобное выражение для вычисления вероятности :

, (20)

которое после интегрирования по вдоль направления принимает окончательный вид:

. (21)

Для простых геометрий этот интеграл может быть получен аналитически. Так, для бесконечной пластины он равен:

, (22)

и, соответственно, цилиндра:

(23)

где - толщина для пластины или радиус для цилиндра, - интегральная показательная функция, , , , - функции Бесселя для цилиндрической геометрии.

Гетерогенные эффекты самым непосредственным способом проявляют себя также и в области резонансного поглощения нейтронов, так как наличие недиффузионных областей в материалах ячеек приводит к серьёзным смещениям в них спектральных характеристик. Учёт таких смещений в теории резонансного поглощения производится с помощью вероятностей первых столкновений, которые входят в подынтегральные выражения и принимают весьма сложный вид без применения приближённых формул. При этом, как всегда, следует учитывать, что простота аппроксимационных формул достигается либо за счёт снижения точности, либо за счёт ограничения области их применения. Исторически простейшее аппроксимационное выражение для вероятности столкновения было предложено Вигнером и имеет вид:

(24)

В его честь оно было названо рациональным приближением Вигнера. Поскольку для чёрного тела , это приближение даёт правильный предельный переход , поэтому им можно пользоваться уже при .

Дж. Бэлл ввёл дополнительный свободный параметр «а» для уточнения зависимости вероятности столкновения от оптической толщины , или: . (25)

Параметр Бэлла «а» зависит от оптической толщины и геометрической формы тела и позволяет путём подбора его величины корректировать результаты, существенно уменьшая погрешность без усложнения формулы. Так как большая часть нейтронов поглощается при энергии , близкой к максимуму резонанса, где блок «чёрный» (а вот это не верно, так как есть понятие область действия резонанса, иначе нельзя объяснить почему при уширении резонанса резонансный интеграл растет), то можно использовать рациональное приближение Вигнера,т. е. считать а = 1. Однако из сравнения с точными расчётами получено, что существенное уменьшение погрешности будет при величине а = 1.16, а именно: . Практическая формула имеет вид:. . (26)

Тогда для цилиндрического блока значениями обеспечиваются правильные предельные переходы при и при с погрешностью менее 4%.

Тесная решётка. В тесных решётках должно выполняться условие , так как в них твэлы расположены настолько близко друг к другу, что нейтрон, вылетевший из топлива, с довольно большой вероятностью может испытать первое соударение в смежных топливных блоках. Поэтому в них необходимо учитывать нейтроны соседних ячеек, которые пролетели замедлитель, не испытав в нём столкновений. Условие зеркального отражения на границе ячейки позволяет перейти от рассмотрения всей решётки в целом к одной ячейке, для которой метод ВПС даёт систему алгебраических уравнений. В этом случае надо вероятность , для которой не учитывались нейтроны первого столкновения в зоне «» после отражения от границы, заменить на вероятность для нейтронов, родившихся в зоне «» от однородных и изотропных источников, испытать столкновение в зоне «» этой же ячейки после любого (включая и нулевое) числа зеркальных отражений от её границ. Тогда система алгебраических уравнений метода ВПС примет вид:

, (27)

на её основе эта вероятность получается равной:

, (28)

где - поверхность ячеек, , - объёмы.

Для реальной 2-зонной ячейки (V=V₀, S=S₀) введём коэффициент С – вероятность нейтрону, вылетевшему изотропно с поверхности блока, испытать 1-е столкновение в замедлителе, не пересекая на своём пути S₀. В этом случае входящие в вероятность составные её части можно представить по-другому:

, (29)

(30)

и на основе соотношения взаимности получить вероятность

. (31) Подставляя полученный результат в выражение для вероятности и преобразуя его, имеем выражение, полученное Нордгеймом:

, (32)

из которого для одиночного блока в бесконечном замедлителе, т. е. в разреженной решётке следует С=1 и . Во всех других случаях . Используя далее для расчёта приближение Бэлла, можно получить в рациональной форме и :

, (33)

где величина определяет т. н. коэффициент «затенения» в тесной решётке. Если параметр Бэлла а=1, то . Величина С в нём есть поправка Данкова-Гинзбурга, введенная для учёта резонансного поглощения нейтронов в тесных решётках твэлов. Для её вычисления есть ряд приближённых формул, из которых для решёток цилиндрических блоков используется формула Зауэра, полученные по ней результаты неплохо согласуются с методом Монте-Карло.

Точный расчёт вероятностей в сложных решётках связан с громоздкими вычислениями, так как ячейки в канале находятся не в одинаковых условиях, и рядом стоящие твэлы «затеняют» соседние блоки. Возможным подходом является разделение сложной решётки на более простые регулярные части для т. н. потвэльного расчёта каждого твэла в своей ячейке с последующей суперпозицией результатов расчёта. Далее для проведения расчётов выбираются аппроксимации, дающие наиболее близкие к точным физические результаты, получившие необходимое обоснование как в расчётах методом Монте-Карло, так и в соответствующих экспериментах.