Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Пусть событие А может произойти в любом из M повторных независимых испытаниях с постоянной вероятностью р отличной от 0 и 1. Пусть количество испытаний велико, а события не редкие, т.е выполняются условия Муавра-Лапласа. Тогда вероятность того, что количество успехов заключено в некотором интервале определяется интегральной функцией Муавра-Лапласа.

(16)

- интегральная функция Муавра-Лапласа Ошибка

Свойства интегральной функции Муавра-Лапласа:

Пример:

Вероятность того, что деталь не пройдет контроль равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 деталей число не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 100.

Применим формулу 3 и подставим полученные данные.

Следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

1. Для симметричного интервала для числа успехов:

Пример:

В условиях предыдущей задачи определить вероятность того, что число деталей не прошедших контроль заключено в пределах от 70 до 90.

Применяя формулу 4 получаем:

2. Для доли или частости успехов.

Если доля или частость успехов заключена в интервале, симметричном относительно р, то справедлива формула:

Задача № 1.

Вероятность того, что стрелок попадет в цель равна 0,7. Произведено 400 выстрелов. Найти вероятность того, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Ответ: С вероятностью 0,9281 можно утверждать, что доля попаданий отклоняется от вероятности равной 0,7 не более чем на 0,04.

Задача № 2.

В условиях предыдущей задачи определить, какой интервал для частости попаданий можно гарантировать с вероятностью 0,9281.

По таблице наоборот.

(19) ;

Ответ: Можно гарантировать интервал (0,66; 0,74) для доли попаданий с вероятностью 0,9281.

Задача № 3.

В условиях предыдущей задачи определить, сколько нужно произвести выстрелов, чтобы для доли попаданий гарантировать интервал (0,66; 0,74) с вероятностью 0,9281.