Для входных потоков марковость будет сохранена. В качестве типичной СМО рассмотрим M/G/1.
Обозначим функцию распределения промежутков времени между последовательными поступлениями заявок на входе системы A (t).
По определению марковского процесса
.
Значение λ определяет интенсивность потока заявок, среднее значения промежутка времени между требованиями 1/ λ, а дисперсия промежутка равна:
.
Обозначим функцию распределения времени обслуживания B(x), а плотность распределения b(x).
Рассмотрим теперь описание СМО с точки зрения ее состояния в момент t. Обозначим N(t) число требований, присутствующих в системе в этот момент. Кроме того, необходимо знать время обслуживания, которое к данному моменту получило требование уже находящееся в сервере. Обозначим его X0(t). Таким образом, от однокомпонентного описания состояния СМО с марковским процессом обслуживания для произвольного закона обслуживания необходимо перейти к двухкомпонентному описанию. Кроме дискретной составляющей N(t), теперь нужно рассматривать пару
|
|
Где вторая компонента есть непрерывная функция. Для упрощения решения задачи будем рассматривать только специально выбранные моменты времени, для которых величина времени уже проведенного заявкой в сервере является величиной известной или еще лучше постоянной. Используемый здесь подход состоит в том, чтобы рассматривать исключительно моменты ухода заявок из системы и описывать состояние числом требований, остающихся в эти моменты в системе. На множестве точек на оси времени, определяемых этими моментами, построим вложенную марковскую цепь, как число требований, остающихся после ухода. Можно убедиться, что при этом получается полное описание состояний. Введем обозначения:
Cn – n -ое требование, поступающее в систему; τn - время поступления n -го требования, а tn=τn-τn-1 = xn – время обслуживания n -го требования.
Обозначим qn – число требований, остающихся в системе в момент ухода требования Cn, а число требований, поступающих в систему за время обслуживания этого требования – vn.
Найдем распределение вероятностей qn, которое фактически зависит от времени. Предельное распределение, которое мы ранее называли pk, есть не что иное как предел этого распределения при n →∞.
Марковская цепь описывается вероятностями перехода. Определим вероятности перехода за один шаг .
Матрица переходов будет иметь вид:
Например, j -элемент первой строки матрицы представляет собой вероятность того, что предыдущее требование, уходя, оставило систему пустой, а за время обслуживания требования Cn+1 поступает ровно j новых требований и все они остаются в системе после ухода требования Cn+1. Точно так же в других строках элемент pij при j > i-1 представляет собой вероятность поступления точно j-i+1 требований за время обслуживания n+1 требования при условии, что n -ое требование, уходя, оставляет в системе точно i требований. Диаграмма вероятностей переходов приведена на рис 1.
|
|
Рис. 1 Диаграмма вероятностей переходов для вложенной марковской цепи типа M/G/1.
Вычислим теперь значения αk. Исходя из того, что входной поток пуассоновский и не зависит от состояния СМО, а также время обслуживания каждого требования также не зависит от состояния, отбросим индексы у обозначений соответствующих величин. По формуле полной вероятности будем иметь
Эта формула полностью представляет матрицу перехода.
Все значения α положительны, что означает достижимость и неприводимость рассматриваемой марковской цепи. Введем обычное определение .