Система типа G/G/1

Система типа G/G/1-этот класс систем предполагает, что как распределение интервалов времени между поступлением входных заявок-требований, так и распределение времени обслуживания в сервере описываются произвольными функциями плотности вероятности. Обозначим функцию плотности вероятности входного потока заявок a(t), а функцию плотности вероятности времени обслуживания b(x). Рассмотрим последовательность поступающих заявок на обслуживание - требований, пронумерованных индексами и вспомним обозначения, введенные ранее.

C_n - n -е требование, поступающее в систему,

t_n - промежуток времени между поступлениями n -го и n -1 требований, плотность вероятности a(t) - не зависит от n.

x_n - время обслуживания n -го требования, плотность вероятности b(x) -также не зависит от n,

w_n - время ожидания n - го требования в очереди.

Напомним определение незавершенной работы для системы массового обслуживания. По определению незавершенная работа в каждый момент времени - это остаточное время, необходимое для освобождения системы от всех требований, находящихся в ней к этому моменту. Очевидно, что для системы G/G/1 значение незавершенной работы непосредственно перед поступлением n-го требования в точности равно времени w_n. Таким образом, последовательность этих значений будет образовывать дискретную марковскую цепь, вероятности переходов которой могут быть определены по характеристикам входного потока и времени обслуживания. Зная эти переходные вероятности можно найти все характеристики изучаемой СМО. Рассмотрим два случая поступления требования С_n в систему - поступление в занятую систему (Рис. 1) и в свободную систему (Рис. 2).

Рис. 1 Случай, когда требование C_n+1 поступает в занятую систему.

Рис. 2 Случай, когда требование C_n+1 поступает в свободную систему.

Нетрудно видеть, что для первого случая

.

Для второго случая .

Определим случайную величину, равную разности между временем обслуживания требования с номером n и промежутком времени между поступлениями n +1 и n -го требований .

Фундаментальное свойство этой случайной величины состоит в том, что для стабильных СМО, т.е. имеющих стационарное распределение вероятностей состояний, ее математическое ожидание должно быть отрицательным. Смысл этого утверждения понятен из определения. Очевидно, что в среднем время обслуживания должно быть меньше времени между поступлениями соседних требований. Используя эту величину можно записать выражение для рекуррентного определения величин w_n в компактном виде

Решая это уравнение последовательно, начиная с нулевого требования, можно получить

.

Условие стабильности М<u_n> <0, может быть записано в более привычной форме:

При выполнении этого условия будет существовать стационарное распределение вероятностей

Эта функция распределения может быть записана через искомую плотность вероятности для времени ожидания в очереди

.

Для ее нахождения Линдли получил интегральное уравнение, носящее его имя.

Функция c(u) определяется в свою очередь интегралом, похожим на свертку плотностей вероятности входного потока заявок и времени обслуживания

.

Решить уравнение Линдли в общем случае не удается. Если ввести преобразования Лапласа от функций плотности вероятности

то удается записать: