При этой стратегии обслуживания контроллер, показанный на рис. 1, назначает канал (временной слот) любому пользователю при его появлении независимо от класса нагрузки. При отсутствии свободного канала запросы на соединение блокируются, а пакеты помещаются в буфер. Найдем точное решение задачи определения характеристик качества обслуживания интегральной сети с такой стратегией интеграции. Приемлемая сложность задачи получается для простейшего случая разделения ресурса в виде одного N=1 канала. Однако, несмотря на простоту случая, он позволяет проследить все важнейшие особенности рассматриваемого способа объединения. Для более общего случая с большим числом каналов N будут приведены приближенные формулы.
Рис. 1 Модель с непрерывным временем; интеграция нагрузки с коммутацией каналов и коммутацией пакетов.
Построим диаграмму переходов состояний системы массового обслуживания, соответствующей рассматриваемой задаче. СМО имеет двумерную структуру пространства состояний (См. рис.2). Обозначим стационарные вероятности нахождения системы в каждом из состояний pij. Верхний ярус состояний i =1 соответствует случаю занятости канала заявкой первого класса, а нижний ярус i =0 описывает состояния без наличия заявки первого класса. Значение j определяет число заявок второго класса, находящихся в системе. Переходы между состояниями в точности соответствуют возможным процессам в системе. Так при занятости канала заявкой первого класса, его освобождение происходит с интенсивностью μ1 в состояние, определяемое числом заявок второго класса, находящихся на обслуживании. Поступление новой заявки второго класса производит переход в состояние с j +1 с интенсивностью λ2, а ее обслуживание производит переход в состояние с j -1 с интенсивностью μ2, но только в случае отсутствия заявки первого класса (i =0).
Рис. 2 Диаграмма состояний интегральной схемы; обслуживание в порядке поступления; N=1 канал.
Выпишем уравнения баланса для всех состояний.
Обозначая как обычно ρ1 = λ1/μ1, ρ2 = λ2/μ2 и используя уравнения (1) и (2) можно получить выражения для вероятностей состояний
где - коэффициент, определяющий соотношение между длительностью заявок первого и второго класса.
Для определения вероятностей при i =0 воспользуемся методом производящих функций. Определим производящую функцию
.
Умножим правую и левую часть уравнения (2) на zj и, суммируя по всем j, начиная с единицы, можно получить следующее алгебраическое уравнение для функции комплексной переменной – производящей функции
При выводе этих уравнений использовались следующие вспомогательные соотношения
В уравнении для G0(z) в правой и левой части может быть выделен сомножитель (z-1). После сокращения на него можно записать выражение для производящей функции
.
Единственным неизвестным остается вероятность в нулевой точке. Воспользуемся условием нормировки и свойством производящей функции
Теперь мы можем найти характеристики качества обслуживания. Вероятность блокировки заявок первого класса равна вероятности 1-p00.
.
В качестве подтверждения правдоподобности полученного соотношения найдем значение вероятности блокировки при отсутствии заявок второго класса, т.е. при
Это в точности значение вероятности блокировки системы с одним сервером, получаемое при расчете по В - формуле Эрланга.
Теперь найдем среднее значение задержки нагрузки второго класса. Сначала найдем среднее число пакетов в системе, а затем воспользуемся формулой Литтла.
Заметим, что первое слагаемое описывает задержку в системе M/M/1, а второе слагаемое определяет увеличение числа пакетов в очереди за счет состязаний за доступ к каналу с заявками первого класса. Условие равновесия для нагрузки второго класса не зависит от нагрузки первого класса и состоит в выполнении неравенства ρ2 <1.
Воспользовавшись формулой Литтла, найдем нормированную задержку заявок второго класса
.
Обычно при интеграции заявки первого класса - телефонные разговоры имеют существенно большую длительность, чем длительности пакетов. При этом α >>1. Как видно из полученной формулы, задержка пакетов сильно возрастает по сравнению с чисто пакетной сетью. Интересно как изменится ситуация при достаточно большом числе каналов. Случай с N >1 был проанализирован и позволил предложить приближенную формулу для расчета вероятности блокировки для нагрузки первого класса в виде
Это известная формула Эрланга. Соотношение точно при α =1 и может быть применено для других значений α в силу слабой зависимости вероятности блокировки от ее величины.
Рассмотрим пример. Пусть 1/ μ 1=100c,1/ μ2 =10 мс. Тогда α =10000. Пусть нагрузки таковы, что ρ1 =0.1, ρ2 =0.4. Тогда PB =0.45 т.е. весьма значительна. В то же время задержка для пакетов μ2M<T>= 1.7+990=991.7 что существенно превышает задержку без учета влияния «разговорной» нагрузки. Фактическое время задержки составит 9.9 с вместо 1.7 мс для соответствующей системы M/M/1 когда пакеты поступали бы в отдельный канал.
Как показывает анализ, стратегия интеграции нагрузки в порядке поступления запросов не обеспечивает приемлемого регулирования характеристик качества обслуживания.
Другим способом интеграции является стратегия абсолютного приоритета заявок первого класса.