Перемещения при плоском изгибе характеризуются прогибом y и углом поворота поперечного сечения φٕ, величины которых определяются из универсального уравнения изогнутой оси балки:
,
где y 0, φ0 – прогиб и угол поворота сечения в начале координат;
a, b –расстояние от начала координат до сечения, в котором
приложен внешний силовой фактор (F и m или опорная реакция);
с – расстояние от начала координат до начала приложения
распределенной нагрузки;
d – расстояние от начала координат до конца приложения
распределенной нагрузки (начала приложения компенсирующей распределенной нагрузки q к);
x – абсцисса рассматриваемого сечения.
При использовании универсального уравнения начало координат всегда выбирается на левом конце балки. Это уравнение получено путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения упругой линии балки:
где изгибающий момент в сечении x.
Поэтому знаки у слагаемых, включающих F, m и q, будут определяться по правилу знаков для изгибающего момента при рассмотрении равновесия левой части балкой. По этой же причине в уравнения включаются только те силовые факторы, которые находятся слева от сечения с координатой x. Если распределенная нагрузка q не действует до правого конца балки, ее действие надо продолжить до этого конца и, соответственно, приложить равнозначную компенсирующую нагрузку q к, которая учитывается в уравнении с противоположным основной q знаком. На эту особенность надо обратить внимание, так как при построении эпюр Q и M такой необходимости не возникало. Начальные параметры y 0 и φ0 определяются из условия, что на опорах прогибы равны нулю (см. далее прим. 7).
Для проверки правильности построения упругой линии балки можно использовать соответствие знака кривизны упругой линии и знака . Если >0, то на этом участке выпуклость упругой линии будет направлена вниз, и наоборот.
Пример 7
Определить прогибы в характерных сечениях балки (рис. 30) и построить ее изогнутую ось.
Построение эпюр Q и M, а также подбор сечения балки проделайте самостоятельно. Принимается двутавр № 16, , .
Начало координат выбираем в крайнем левом сечении балки (на опоре С). Балка имеет три участка нагружения: I, II, III (см. рис. 30). Распределенная нагрузка q действует только на участке II. Доводим распределенную нагрузку q до конца балки и на этом участке III показываем компенсирующую (уравновешивающую) нагрузку.
Составим уравнение прогибов:
.
Рассматриваемая балка имеет три участка нагружения. В уравнении прогибов отмечены участки, на которых учитывается каждый из силовых факторов. Слагаемые уравнения от соответствующего внешнего фактора имеют такой же знак, как и при определении изгибающего момента.
Начальные параметры y 0 и φ0 определим из условий, что на опорах балки прогибы равны нулю.
Рис. 30. Определение перемещений для двухопорной балки
При x = 0 .
При x = 3 м ,
откуда а
Положительное значение откладывается против хода часовой стрелки.
Определим прогибы в некоторых сечениях балки.
При
Величину прогиба при определите самостоятельно (получится ).
В межопорной части балки максимальный прогиб будет примерно посередине пролета.
При х = 1,5 м ,
При х =4,0 м
В некоторых случаях начало координат может быть выбрано на свободном конце балки. В этом случае и Если начало координат в опорном защемлении, то и