Разность потенциалов между концами стержня будет равна по величине ЭДС индукции, возникающей в стержне за счёт вращения
. (1)
Для однородного магнитного поля и плоской поверхности dФm=BdScosa, или, подставив в (1), получаем (знак минус опустим, так как необходимо найти только величину ЭДС)
. (2)
По условию задачи cosa =1, поэтому из выражения (2) следует
, (3)
dj = wdt = (2pn)dt. (4)
Подставляя (4) в (3), получим:
.
U = 10–3×2p×2 (1,22 + 2×1,2×0,25)/2 = 0,0128 В = 12,8 мВ.
7. Прямой проводник длиной l =10 см помещён в однородное магнитное поле с индукцией В =1 Тл. Концы проводника замкнуты гибким проводом, находящимся вне поля. Сопротивление внешней цепи R =0,4 Ом. Какая мощность потребуется для того, чтобы двигать проводник перпендикулярно линиям индукции с постоянной скоростью u=20 м/с?
Решение
Проведём анализ условия задачи. При движении проводник будет пересекать линии индукции. За счёт этого в проводнике возникнет ЭДС индукции
e = – dФ/dt, (1)
где в данном случае
dФ = BdS = Bludt. (2)
Подставляя (2) в (1), получаем:
|
|
e = – Blu.
Сила индукционного тока в цепи согласно закону Ома
I = e / R = – (Blv)/R.
Тепловая мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении
P = I2R = B2l2u2/R.
Эта мощность будет равна мощности, которую необходимо подводить к системе за счёт внешней силы, действующей на проводник, для того, чтобы скорость движения проводника была постоянной. Таким образом:
P = B2l2u2/R = 1×0,01×400/0,4 = 10 Вт.
8. Две катушки равномерно намотаны на цилиндрический сердечник, длина которого много больше диаметра. Индуктивность первой катушки 0,2 Гн, второй- 0,8 Гн. Сопротивление второй катушки 600 Ом. Какой ток потечёт по второй катушке, если ток в 0,3 А, текущий в первой катушке, выключить в течение времени 0,001 с.
Решение
Данная задача относится к разделу взаимной индукции. Сила тока во вторичной обмотке
I2 = e2/R2. (1)
Величина e2 зависит от взаимной индуктивности L12 и быстроты изменения силы тока I1
e 2 = –L12dI1/dt = –L12DI1/Dt = –L12(I1 – I01)/Dt. (2)
Взаимная индуктивность двух соленоидов, имеющих общий сердечник, рассчитывается по формуле
L12 = mm0n1n2lS. (3)
Собственные индуктивности
L1 = mm0n12lS, (4)
L2 = mm0n22lS, (5)
поэтому, учитывая выражения (3), (4), (5), получаем
L12 = . (6)
Подставляя выражение (6) в выражение (2), а полученный результат - в выражение (1), получаем:
I2 = (L12I 01)/R2 = (I01 )/R2Dt.
I2 = = 0,2 А.
9. На тороид квадратного поперечного сечения намотано 1000 витков провода. Внутренний радиус тороида равен 0,1 см, внешний - 0,2 см. Магнитная проницаемость тороида равна100. По обмотке тороида протекает электрический ток силой 1 À. Определить энергию магнитного поля внутри тороида.
Решение
Решим задачу двумя способами.
1. Энергия магнитного поля – это энергия, запасённая в индуктивности:
|
|
,
где L - индуктивность, I - сила тока, протекающего в индуктивности.
Потокосцепление, согласно определению индуктивности, рассчитывается как
Y = LI, Y = NФm,
где Фm - магнитный поток через поперечное сечение S тороида.
,
где r - расстояние от центра тороида до площадки dS, на которой определяется величина индукции магнитного поля. Так как тороид квадратного сечения, то высота площадки h = (r 2 - r 1), а ширина - dr. Поэтому
.
Тогда индуктивность тороида
L = = mm0N 2 (r2 - r1) ln .
Подставляя выражение для индуктивности в выражение для энергии, получаем
.
Wm = 100×4p×10–7×106×10–3×1×ln2 /(4p) = 6,9 мДж.
2. Энергия магнитного поля Wm связана с плотностью энергии wm соотношением:
Wm = ,
где w m = mm0Н 2/2.
Внутри тороида
Н = NI/l = NI/2pr.
Выберем в качестве элемента объема dV объем цилиндрического слоя радиусом r, высотой h=(r2 - r1) и толщиной dr (в пределах этого слоя величина Н постоянна). Запишем выражение для dV=(r2 – r1)2pr·dr и подставим в выражение для энергии Wm. Получаем
W m = mm 0N 2 I 2(r 2 - r 1)ln .
Подставим числовые значения и получим:
W = 6,9 МДж.
Как видим, оба решения дают одно и то же значение.
Примечание: если в условии задачи величина m не задана, а указано, что тороид представляет собой железный, стальной или чугунный сердечник, то величина m находится по графику зависимости В = В(Н) (прил. 1) как
m = В/m 0Н.
В качестве величины Н принять значение Н в центральной точке поперечного сечения тороида.