Обоснование алгоритма адаптивной линейной интерполяции

Одним из наиболее эффективных методов устранения избыточности непрерывных сообщений, передаваемых по дискретным каналам, является адаптивная временная дискретизация (АВД). В процессе адаптивной дискретизации чаще всего реализуется один из апертурных методов сжатия данных, применяемый к непрерывному сигналу. В результате определяются моменты времени, в которые необходимо произвести выборки дискретных значений сигнала, а затем эти выборки (отсчеты) передаются по дискретному каналу. Если система передачи рассчитана на цифровые сигналы, то отсчеты подвергаются аналого-цифровому преобразованию. Эти операции могут быть совмещены. Устройство адаптивной дискретизации определяет моменты времени, когда нужно производить отсчеты, а АЦП производит преобразование сигнала в эти моменты.

Основу работы устройства АВД составляет контроль текущей погрешности аппроксимации сигнала выбранной аппроксимирующей функцией. Для этого используются различные методы оценки точности и приближенного факта нахождения сигнала в заданных границах. Если, например, сигнал аппроксимируется кусочно-линейной функцией, т.е. представляется на отрезках между отсчетами с помощью полинома первого порядка, то необходимо контролировать величину отклонения сигнала от такого полинома:

где:

e (t,T) — ошибка аппроксимации;

S(t) — сигнал;

q(t,T) — аппроксимирующая функция;

t — текущее время;

T — длина отрезка аппроксимации.

Если q(t,T) — интерполяционный полином первого порядка, то

при , ошибка

Для оценки величины ошибки аппроксимации можно, например, использовать разложение сигнала в степенной ряд и анализировать остаточные члены этого ряда. Существует и множество других методов оценки, основанных на анализе дифференциальных или интегральных характеристик сигнала. Применительно к аналоговой реализации достаточно простыми и точными являются интегральные алгоритмы оценки погрешности аппроксимации. В общем случае эти алгоритмы не позволяют точно вычислять максимальное значение погрешности интерполяции . Вместо величины вычисляется некоторая функция, являющаяся ее оценкой например:

.

Чтобы вычислять в явном виде необходимо запоминать сигнал S(t) на всем отрезке [0,T], а это нежелательно. Поэтому необходимо заменить функцию под интегралом:

После интегрирования и замены получим:

;

Величина постоянного коэффициента a принципиальной роли не играет, а определяет масштаб функции . Из практических сообра жений выбирают , тогда:

Если вычислять функцию и контролировать ее величину таким образом, чтобы при выходе ее за пределы определенной зоны (апертуры) производить отсчет значения сигнала, то можно осуществить адаптивную дискретизацию. При этом аппроксимация отсчетов с помощью кусочно-линейной интерполяции обеспечивает восстановление непрерывного сигнала с погрешностью, лежащей в пределах:

т.е. если не задано, что величина не должна превышать e_m, то величину необходимо выбирать из соотношения: = e _m / (r+3).

Таким образом, можно определить порог , который необходимо установить в реальном устройстве, осуществляющем адаптивную дискретизацию сигналов с погрешностью, не превышающей e_m.

Необходимость автоматизации сбора и сжатия информации очевидна: даже при сравнительно небольших частотах опроса датчиков, тем более при большом количестве датчиков. Человек с этой задачей физически не сможет справиться.