Интерполяционный полином Лагранжа

Предположим, имеется таблица из двух столбцов , , . Требуется найти полином низшей степени, который принимает значения для каждого аргумента : , то есть совпадающий со значениями табличной функции в узлах. Приближенно будем считать, что для любого значения аргумента t , . Подобное приближенное равенство называют интерполяционной формулой. Итак, надо найти интерполяционную формулу, а затем оценить ее погрешность.

Найдем, прежде всего, полином (многочлен), который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Очевидно несложная функция

, [7]

где штрих у знака произведения означает , является требуемым полиномом степени n-1.

Заметим, что через n точек однозначно можно провести полином степени не выше n-1, например, через 2 точки можно однозначно провести прямую (кривую 1-го порядка), через 3 точки – параболу (кривую 2-го порядка) и т.д.

Легко проверить, что равен 1, если ; и 0, когда . Домножим на , полученный полином принимает значение в j-й узловой точке и равен нулю во всех других узлах. Поэтому сумма таких полиномов будет принимать значения для аргумента :

,

Отметим: j – порядковый номер промежуточного полинома в сумме, строящей полином Лагранжа; i – номер любого узла таблицы.

В общем случае

[8]

Это и есть искомый полином степени n-1, проходящий через все n узлов таблицы : , .

Впервые интерполяционный полином Лагранжа был опубликован в 1795 году.

Подчеркнем: если дано n узловых точек, то соответствующий полином степени n-1, проходящий через эти точки, однозначно (в пределах ошибок округления) определен, независимо от способа построения и системы обозначений. Если используются разные узловые точки, то, конечно, полиномы могут быть различными, но одинаковые узловые точки должны приводить к одинаковым полиномам (в пределах ошибок округления).

Потребовав, чтобы полином принимал значения для каждого аргумента , мы построили полином Лагранжа. Если потребовать, чтобы полином принимал не только значения табличной функции в узлах, но и первая производная от полинома была равна первой производной табличной функции в узлах, то мы построим полином Эрмита.

Пример. Дана таблица

t	x

Построить интерполяционный полином Лагранжа и найти значение L (2).

n=2. Согласно [8] ;

Согласно [7] ; .

Или ,

. Подставляя числа

.

Это интерполяционный полином 1-го порядка – прямая.

Для t = 2, L = 4.5.

Пример. Дана таблица

t	x

Построить интерполяционный полином Лагранжа и найти значение L (2).

n=3. Согласно [8] ;

Согласно [7]

;

,

.

Это интерполяционный полином 2-го порядка – парабола.

Для t = 2, L = 7.33.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 5-ти узлам – полином 4-го порядка.

На этом рисунке показан график полинома Лагранжа, построенного по 8-ти узлам – полином 7-го порядка.

Из рисунков видно, что значения табличной функции между узлами полиномом Лагранжа представляются неудовлетворительно. Кроме того, полином Лагранжа неудобен для практического использования. На практике обычно известна требуемая точность результата, а множество используемых узлов можно выбирать.