Матрицаны транспандау

Матрицаның жолдары мен оған көшiрме бағандарының орындарының ауыстыруынан шыққан матрицаны транспандау деп аталады. А матрицаның трансподалған матрицасын А¢ арқылы белгiленедi.

Мысалы. болса, .

Тапсырманы орындауға арналған нұсқаулар

ІІ. Матрицаның экономикалық интрперетациясы

5 мысал.

Берілгені: Өнеркәсіпте - төрт түрлі бұйым шығарылады

төрт түрлі бұйымға - төрт түрлі шикізат жұмсалынады

А матрицасы - шикізаттардың жұмсалу нормасының элементтері

шикізат түрлері 1 2 3 4

А = бұйым түрлері

Әрбір бұйым түрінің жоспар бойынша жасалу мөлшері: 50, 45, 30 және 20

Табу керек: әрбір жұмсалатын шикізаттың мөлшерін

Шешімі: Шығатын бұйымдардың векторлық жоспары: = (50, 45, 30, 20).

* А = (50, 45, 30, 20) = =

6 мысал. Төрт өнімге жұмсалатын төрт түрлі шикізаттың мөлшері алдыңғы мысалда берілген А матрицасымен анықталатын болсын. Егер шикізаттардың өзіндік құндары 8, 6, 5, 4 ал оларды тасымалдауға жұмсалатын шығындар 1, 2, 3, 3 болса, онда а) әрбір өнімге жұмсалатын шикізаттардың шығындарын, оларды тасымалдауға жұмсалатын шығындарды және б) жасалатын бұйымдардың векторлық жоспары 1-2 тапсырмадағыдай болған жағдайда шикізатқа жұмсалатын жалпы шығын мен оларды тасымалдауға жұмсалатын жалпы шығымндарды табыңыз.

Шешімі: Шикізаттардың өзіндік құндары мен тасымалдау шығындарының матрицасын құрамыз:

С =

Сонда бірінші сұрақтың жауабы А матрицасы мен С^Т матрицасының көбейтіндісі ретінде беріледі:

А* С^Т = =

Мұндағы С^Т – С матрицасының трансполданған матрицасы. Бұйымдардың векторлық жоспары

= (50, 45, 30, 20) болған жағдайда шикізаттардың жалпы шығыны және оларды тасымалдау шығыны векторы мен АС^Т матрицасының көбейтіндісі ретінде беріледі:

* АС^Т = (50, 45, 30, 20) = (11725 5070).

Мысал.

Берілгені: Бес өнеркәсіп – 3 түрлі шикізаттан 4 түрлі бұйым шығарады.

- күндік өнімділіктері

- әрбір өнеркәсіптің әр жыл сайын істейтін күндерінің сандары

- әрбір өнімнің құны.

Табу керек: 1.Әрбір өнеркәсіптің әрбір бұйым бойынша жылдық өнімділігі;

2.Әрбір өнеркәсіптің әрбір шикізатты жылдық жұмсау мөлшері;

3.Әрбір өнеркәсіптің бұйымдарды шығаруға жұмсайтын шикізаттарды сатып алу үшін керек ететін жылдық несие мөлшері.

Керекті өндірістік көрсеткіштер:

Бұйым түрі	Өнеркәсіп өнімділігі өнім/күн	Шикізаттың жұмсалуы салмақ бірлігі/шикізат
	Жылдық жұмыс күндерінің саны	Шикізат құны

Шешуі: Өнеркәсіптің барлық экономикалық спектрін сипаттайтын матрицалар:

1) өнеркәсіптің барлық бұйымдар бойынша өнімділік матрицасын құру (А матрицасы - өнеркәсіптің әрбір бұйым бойынша күндік өнімділігі)

- әрбір өнеркәсіптің әрбір бұйым бойынша жылдық өнімділігін ( А_жыл) табу.

2) бір өнімге жұмсалатын шикізаттың (В матрицасы) матрицасын құру

- шикізаттардың түрлері бойынша күндік жұмсалу шығынын табу

- әрбір өнеркәсіптің әрбір шикізатты жылдық жұмсау мөлшерін табу.

3) шикізат бағасының векторын ( құру

- әрбір өнеркәсіптің бұйымдарды шығаруға жұмсайтын шикізаттарды сатып алу үшін бөлетін жылдық шығыны (P - шикізаттарды сатып алу үшін жұмсалатын өнеркәсіптер несиелерінің мөлшерлері)

Мысал.

Берілгені: Төрт өнімге жұмсалатын төрт түрлі шикізаттың мөлшері - А матрицасы

шикізаттардың өзіндік құндары: 8, 6, 5, 4

тасымалдауға жұмсалатын шығындар: 1, 2, 3, 3

Табу керек:

а) әрбір өнімге жұмсалатын шикізаттардың шығындарын, оларды тасымалдауға жұмсалатын шығындарды

б) шикізатқа жұмсалатын жалпы шығынды

в)тасымалдауға жұмсалатын жалпы шығындарды.

Шешуі:

-шикізаттардың өзіндік құндары мен тасымалдау шығындарының матрицасын (С) құру

- - бұйымдардың векторолық жоспарын құру

- шикізаттардың жалпы шығыны және оларды тасымалдау шығынын есептеу.

Өнімділік матрицасы:

өнеркәсіп өнімділігі

А = бұйым түрі

Әрбір өнеркәсіптің әрбір бұйым бойынша жылдық өнімділігі

А_жыл =

Бір өнімге жұмсалатын шикізаттың матрицасы:

бұйым түрі

В = шикізат түрі

Күндік жұмсалуы:

ВА =

Өнеркәсіптің әрбір шикізатты жылдық жұмсау мөлшері ВА матрицасының көбейтіндісіне тең:

ВА_жыл =

Шикізат бағасының векторын жазамыз: = (50, 30,40).

Әрбір өнеркәсіптің бұйымдарды шығаруға жұмсайтын жылдық шығыны:

P = * ВА_жыл = (1266000, 3052000, 2578000, 2671200, 1938000)

Өзіндік жұмыс тапсырмалары

І. Матрицаға қолданылатын амалдар тақырыбына арналған тапсырмалар:

1 Орындау А+(- В), егер

а) А = ; В = б) А= ; В =

2. Матрицаның сызықтық комбинацияларын тап:

а) 2А+3В, мұндағы , .

б) 4А – 5В, мұндағы , .

в) 3А+4В, мұндағы , .

3. А матрицаны санға көбейту

а) -1,5 А, егер А = б) 2А, егер А =

4.Амалды орында

А = , Е

5. А және В матрицасын көбейту, егер

а) А = В = Табу керек: А В және В А

б) А = В = Табу керек: А В және В А

6.АВ және ВА матрицалардың көбейтіндісін тап (егер мүмкін болса).

а) б) , .

в) .

7. Амалды орында

а) А , А , егер А = б) С=-5А+2В, егер А= , В =

в) С=2 А + 5А-3Е, егер А = , Е =

г)

ІІ. Матрицаның экономикалық интерпретациясы тақырыбына арналған тапсырмалар

Берілгені: P_i –дің әрбір өніміне S₁, S₂, S₃ үш түрлі шикізаттардың жұмсалу нормасы S матрицасымен және шығарылатын өнім жоспары P=(p₁, p₂) матрицасымен берілген; егер С матрицасы - әрбір шикізаттың мөлшері (у.е.) белгілі болған жағдайда, жоспарланған екі түрлі P₁ және P₂ өнімін шығару үшін шикізаттың жалпы мөлшерін табу.

Төмендегі көрсеткіштерін табу: S – шикізаттың жұмсалуы (х₁, х₂, х₃);

P – өнім түрі; С – өнеркәсіп шығаратын өнім құны.

Шешуі: Сызықтық теңдеулдер жүйесін құру P*S(х)= С

1 ; ; . 2 ; ; .

3 ; ; . 4 ; ; .

5 ; ; . 6 ; ; .

7 ; ; . 8 ; ; .

9 ; ; . 10 ; ; .

11 ; ; . 12 ; ; .

13 ; ; . 14 ; ; .

15 ; ; . 16 ; ; .

17 ; ; . 18 ; ; .

19 ; ; . 20 ; ; .

Практикалық жұмыс №4

«Анықтауышты есептеу тәсілдері»

Жұмыс мақсаты: Анықтауыштың есептеу тәсілдерін есеп шығаруда қолдана білу.

Жұмыс мазмұны

1.Екініші ретті анықтаушы:

1 мысал. екiншi реттi анықтауыштың мәндерiн табайық.

Шешуi.

2.Үшінші ретті анықтаушы (Саррюс ережесі):

= = .

Үшбұрыш ережесімен есептелінеді

Оң таңбамен «+»:; теріс таңбамен «-»:

негізгі диагональ қосымша диагональ

2 мысал үшiншi реттi анықтауыштың мәнiн табу.

Шешуi: Үшбұрыш ережесімен табу жолы

Үшінші ретті анықтауышты есептеудің 2-ші тәсілі

= = - +

3 мысал. 2 тәсіл.

үшiншi реттi анықтауыштың мәнін табу.

3. n–реттi анықтауыштың a_ij элементi тұрған i-жол мен j-бағанды сызып тастағаннан қалған (n-1) реттi анықтауышты ол элементтiң миноры деп аталады. Анықтауыштың a_ij элементтің минорын M_ij арқылы белгілейміз.

Үшінші реттi анықтауыштың a₂₁, a₃₃ элементтерiнiң минорлары M₂₁, M₃₃ табу:

үшінші ретті анықтаушы

Шешуі: ,

4.Анықтауыштың a_ij элементінің алгебралық толықтауышы

4 мысал: үшінші ретті анықтауштың а₂₁, а₃₃ элементтерінің алгебралық толықтауыштарын табу.

Шешуі:

А₂₁=(-1)²⁺¹M₂₁=(-1)³ =- ,

A₃₃=(-1)³⁺³M₃₃=(-1)⁶ =

5 мысал.

үшiншi реттi анықтауыштың бiрiншi бағанында тұрған элементтердiң миноры мен алгебралық толықтауыштарын табыңдар.

Шешуi. a₁₁=2 тұрған бірінші жол мен бірінші бағанды сызып тастасақ, қалғандары оның миноры болады:

;

Ал, алгебралық толықтауышы:

болады. A₂₁=1 тұрған екінші жол мен бірінші бағанды сызып тастаса:

,

M ₃₁= 0 тұрған үшінші жол мен бірінші бағанды сызып тастасақ:

5.Кері матрица тек кана шаршы матрица үшін анықталады. А^-1 матрицасы А матрицаға кері матрица деп аталады, егер ≠0.

А^-1 А=АА^-1 =Е, мұнда Е- бірлік матрица.

Кері матрица формуласы: , ≠0

Кері матрицаны табу алгоритмі:

1.Матрица анықтауышын табу ≠0

2.Берілген матрица элементтерінің алгебралық толықтауыштарынан (А_ij) матрица құру.

3. Матрицаны транспандау және жаңа матрица (^А*) алу.

4. Кері матрица формуласын пайдалану.

5.Тексеру: А = Е

Тапсырманы орындауға арналған нұсқаулар

Мысал

матрицаға керi матрицаны табыңдар.

Шешуi.

Сондықтан, матрицаның керi матрицасы бар. Элементтердiң алгебралық толықтауыштарын табамыз:

;

;

;

; ; .

Сонда:

7 мысал. матрицаның керi матрицасын табыңдар.

Шешуi: Бұл матрицаның анықтауышы: .

Сондықтан, матрицаның керi матрицасы болады. Оны табу үшiн оның барлық элементтерiнiң алгебралық толықтауыштарын табамыз:

a₁₁=2 элемент үшiн A₁₁=(-1)¹⁺¹=1 a₁₂=2 элемент үшiн A₁₂=3(-1)¹⁺²=-3

a₂₁=2 элемент үшiн A₂₁=-1(-1)²⁺¹=-1 a₂₂=2 элемент үшiн A₂₂=2(-1)²⁺²=2.

Сонда: .

8 мысал. матрицаның керi матрицасын табыңдар.

Шешуi: Бұл матрицаның анықтауышы: .

Сондықтан, матрицаның керi матрицасы болады. Оны табу үшiн оның барлық элементтерiнiң алгебралық толықтауыштарын табамыз:

a₁₁=2 элемент үшiн A₁₁=(-1)¹⁺¹=1 a₁₂=2 элемент үшiн A₁₂=3(-1)¹⁺²=-3

a₂₁=2 элемент үшiн A₂₁=-1(-1)²⁺¹=-1 a₂₂=2 элемент үшiн A₂₂=2(-1)²⁺²=2.

Сонда: .

Өзіндік жұмыс тапсырмалары

І. Анықтауыш тақырыбына арналған тапсырмалар:

1.Екінші ретті анықтауышты есепте:

а) ; б) ; в) .

2.Теңдеуді шеш: 3.Теңсіздікті шеш:

; ;

4.Екінші ретті анықтаушты есепте.

а) ,б) ,в) , г) ,д)

5.Есепте

а) ; б) ; в) ; г) ; д)

6.Үшінші ретті анықтауышты есепте:

а) ; б) ; в) . г) ; д) .

7.Теңдеуді шеш: 8.Теңсіздікті шеш:

. ;

9.Үшінші ретті анықтауышты есепте.

а) , б) , в) , г)

10.Теңдіктің дұрыстығын айқындау:

А деңгейлік тапсырма

1. 2. 3.

4. 5. 6.

Б деңгейлік тапсырма

7. 8.

9. 10.

11.Анықтауышты әртүрлі тәсілмен есептеу:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

ІІ. Кері матрица тақырыбына арналған тапсырмалар:

1.Табу керек: , егер

а) ; б) ; в) .

г) А= ; д) ; е)

3.Кері матрицаны табу :

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7 8.

4. Берілген А матрицаның кері матрицасы бар ма, бар болса есепте:

А=

Практикалық жұмыс №5

«Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс тәсілімен шешу. Крамер формуласы. Матрицалық теңдеу.»

Жұмыс мақсаты:

Сызықтық теңдеулер жүйесін матрицалық (Гаусс, Крамер, кері матрица) тәсілдермен шешуге дағдыландыру.

Жұмыс мазмұны:

Сызықтық теңдеулер жүйесі

1. Алгебралық сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс тәсілімен шешу екі кезеңнен тұрады.

Бірінші кезең (тура жол тәсілі) – жүйе үшбұрыш түріне келтіріледі.

Екінші кезең (кері жол) – белгісіздер соңғы белгісізден бастап, біріншісіне қарай тізбектеп анықталынады.

Мысалы: Жүйені шешу:

Шешімі: Жүйеден матрицаны алып, оны үшбұрыш түріне келтіреміз:

~ ~ ~

Жауабы: (-1,0,1)