Вага як спеціальна міра відносної точності результатів

нерівноточних| вимірів

Вага це спеціальна характеристика відносної точності вимірів і їх функцій, обчислена як величина, обернено пропорційна квадрату стандарта, тобто дисперсії результатів випадкових вимірів.

Якщо існує ряд нерівноточних результатів вимірів l₁, l₂,…, l_n точність яких характеризується стандартами σ₁, σ₂,…, σ_n відповідно, то ваги, що характеризують їх відносну точність, визначаються відношеннями

де с – загальний коефіцієнт пропорційності.

Звідси випливає, що вибір с ізрівним квадрату стандарту σ_i² деякого результату виміри (реального або уявного) рівнозначний прийняттю ваги цього результату за одиницю.

Позначимо стандарт результату виміру, що має вагу, рівну одиниці символом .

Тоді рівняння (6.1) можна записати у наступному|слідуючому| вигляді|виді|:

Величину прийнято називати стандартом одиниці ваги, а його наближені значення відповідно середньою квадратичною похибкою одиниці ваги і емпіричною середньою квадратичною похибкою одиниці ваги.

Як випливає з наведених вище міркувань і виразів (6.1) і (6.2), результати рівноточних вимірів, що мають однакові стандарти, тобто σ₁=σ₂=…=σ_n матимуть однакову вагу, яку можна прийняти рівною одиниці p₁=p₂=…=p_n=1.

де σ – стандарт окремого виміру; σ_L – стандарт простої арифметичної середини.

Враховуючи результати обґрунтування другої властивості простої арифметичної середини, а саме формальні перетворення (5.3), можна записати

Підставляючи значення σ_L у пропорцію (6.3), отримаємо

Звідси випливає, що вага арифметичної середини незалежних нерівноточних| результатів вимірів|вимірів| в n разів більше ваги окремого
результату.

Припустивши|передбачати|, що стандарт одиниці ваги дорівнює середній квадратичній| похибці одиниці ваги (див. формулу (6.2)), формула (6.4) набере вигляду

Таким чином, вага арифметичної середини незалежних результатів вимірів одиничної ваги дорівнює кількості цих результатів. При обробці результатів однорідних вимірів їх ваги є безрозмірними величинами. Якщо ж результати вимірів мають різну розмірність, наприклад, довжини лінії виміряні в метрах, а горизонтальні кути в секундах, то вага буде іменованою величиною

6.2. Вага функцій результатів нерівноточних| вимірів|вимірів|

Перетворимо отриману формулу з метою переходу в ній від стандартів σ до вагів р. Для цього піднесемо ліву і праву частину формули (4.2) до квадрату і підставимо замість квадратів стандартів σ_i² вирази (6.1) та, скоротивши ліву і праву частини на загальний множник c, отримаємо формальний запис

Розглянемо простий окремий випадок використання формули (6.6) для функції з однією змінною y = cx. Підставимо цю формулу до (6.6) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо або . Застосувавши цю рівність до кожного виміру , де l_i – результат i-го вимірювання, а p_i – його вага, отримаємо

Отже, з цих математичних побудов випливає, що якщо помножити результат вимірів на корінь квадратний з його ваги, то вага добутку дорівнюватиме одиниці, а його стандарт дорівнюватиме стандарту одиниці ваги .

З пропорції (6.2), отриманої на основі (6.1) запишемо . Перетворюючи цю формулу знайдемо вагу p_y і стандарт σ_y функції y=cx,

При визначенні ваг на практиці можливі два випадки:

1. Стандарти результатів вимірів|вимірів| відомі або можуть бути визначені теоретично. У цьому випадку для розрахунку вагів використовують вирази (6.1), (6.2) і (6.3).

2. У випадку, якщо|у разі, якщо| стандарти невідомі, то вагам можна дати приблизну оцінку, підставляючи у формулу (6.1) приблизні значення середніх або емпіричних середніх квадратичних| похибок, тобто

Приклад 6.1. Математичні перетворення для розрахунку ваги суми кутів теодолітного ходу, виміряних за однакових умов.

Особливістю розв’язання цієї задачі полягає в тому, що вимір кутів теодолітного ходу є рівноточним, тобто їх ваги p₁=p₂=…=p_n=1. Враховуючи цю особливість формула (6.6) набере наступний вигляд

Підставляючи до формули замість p_i, одиничне значення, маємо

Приклад 6.2. Математичні перетворення для розрахунку ваги лінійних вимірів полігонометричного (теодолітного) ходу. Графічна інтерпретація лінійних вимірів теодолітного ходу ілюструється рис. 6.1.

p_L

p₃

p₂

p₁

d_n

d₃

d₂

d₁

Рис. 6.1 – Ілюстрація до прикладу 6.2

У основу математичних перетворень для розрахунку ваги лінійних вимірів полігонометричного |вимірі| ходу покладений відомий в геодезії факт, що довжина ходу дорівнює сумі довжин його сторін. Цей факт математично можна записати у вигляді рівняння

Крім того, відомо, що стандарт довжини лінії за відсутності систематичних похибок пропорційний|пропорціональний| кореню квадратному від|із| довжини лінії

де μ_d – коефіцієнт випадкового впливу.

Тоді підставляючи до виразів (6.2) σ_d для кожної лінії отримаємо формули для обчислення ваги виміряних ліній

В отриманих|одержувати| виразах виділимо постійну величину і позначимо її

тоді на підставі|основі| (6.3) і з урахуванням|з врахуванням| виразів (6.11) і (6.12) отримаємо

Спростивши отриманий|одержувати| вираз|вираження|, маємо

Приклад 6.3. Математичні перетворення для розрахунку ваги перевищення нівелірного ходу, прокладеного на рівнинній місцевості.

Якщо хід прокладений на рівнинній місцевості при середній відстані між рейками кількість станцій в ході буде дорівнювати .

Враховуючи формулу (6.6) запишемо

де p₁, p₂,…, p_n=1 – ваги виміряних перевищень на станції. Беручи до уваги, що на всіх станціях перевищення виміряні в однакових умовах (рівноточно), тобто p₁=p₂=…=p_n=p вираз (6.14) можна представити у вигляді

Позначивши отримаємо звідки випливає

6.3. Загальна|спільна| арифметична середина і її властивості

Якщо l₁, l₂,…, l_n – незалежні результати вимірів однієї і тієї ж величини Х, відносна точність яких характеризується відповідно вагами p₁, p₂,…, p_n (вимірювання нерівноточні) то за якнайкраще наближені до величини Х приймають загальну арифметичну середину

Величину L часто називають середньою зваженою.

де c₁, c₂ – деякі позитивні постійні.

Властивості загальної|спільної| арифметичної середини

Властивість 1. Вага загальної арифметичної середини незалежних нерівнаточних результатів вимірів дорівнює сумі вагів цих вимірів.

Для математичного обґрунтування цього твердження представимо |затвердження| формулу (6.17) |уявлятимемо| у вигляді

Розглядаючи L як функцію незалежних змінних l₁, l₂,…, l_n для визначення її ваги, знайдемо частинні похідні

і підставимо їх до формули (6.6). У результаті отримаємо|одержуватимемо| наступне|слідуюче| співвідношення

Після|потім| скорочень і перетворення отриманої|одержувати| формули, маємо

що формально демонструє вірність|вмісту| властивості 1. Відповідно стандарт загальної|спільної| арифметичної середини, враховуючи формулу (6.8), буде рівний

Властивість 2. Якщо загальна арифметична середина отримане з результатів вимірів, вільних від систематичних похибок, то і сама вона не містить систематичної похибки.

Помноживши кожну з цих рівностей на відповідну вагу , та склавши почленно і розділивши на [ p ] отримаємо

Права частина отриманої рівності складається з двох частин, які відповідають систематичній і випадковій похибкам загальної арифметичної середини. Звідси витікає, що якщо θ₁=θ₂=…=θ_n дорівнює нулю, то і [ pθ ] дорівнюватиме нулю, що і доводить сформульовану вище властивість.

Властивість 3. Якщо результати нерівноточних вимірів вільні від систематичних похибок, то їх загальна арифметична середина при збільшенні кількості вимірів наближається до істинного значення вимірюваної величини.

На підставі обмежувальних умов на вимірювання (6.18) запишемо наступні нерівності c₁<p₁; c₁<p₂;…; c₁<p_n. Підсумуємо праві і ліві їх частини і отримаємо нову нерівність . Звідки можна зробити висновок, що за n→∞ має місце границя

З отриманого виразу (6.22) і формули (6.20) виходить, що стандарт σ_L наближатиметься до нуля, тобто при n→∞

Властивість 4. Сума добутків відхилень результатів вимірів від загальної арифметичної середини

на відповідні їх ваги дорівнює нулю|нуль-індикатору|, тобто

Помножимо почленно кожний вираз із системи рівнянь (6.24) на відповідні ваги і, підсумувавши отриману|одержувати| у такий спосіб|в такий спосіб| рівність, матимемо

Враховуючи формулу для знаходження загальної арифметичної середини (6.17) підставляючи її до отриманого виразу і перетворюючи, матимемо

Підставляючи до отриманої формули вираз (6.25) отримаємо , що і потрібно було довести.

Залишається обґрунтувати, що з|із| усіх можливих функцій, отриманих|одержувати| в результаті нерівноточних|унаслідок|| вимірів|вимірів| цю властивіст має тільки|лише| загальне|спільна| арифметичне середнє. Для цього візьмемо відмінну від (6.24) деяку функцію у |біля| і запишемо для неї систему рівнянь:

Помножимо кожну з рівностей на відповідні ваги , а потім підсумуємо почленно і отримаємо формулу , яку, враховуючи (6.25), можна перетворити на співвідношення вигляду . Звідси витікає, що буде дорівнювати нулю, тоді і тільки тоді, коли y=L що і потрібно було довести.

Властивість 5. Сума добутків ваг на квадрати відхилень від загальної арифметичної середини завжди менша суми добутків ваг на квадрати

відхилень від будь-якої іншої функції тих же результатів вимірів, тобто

що відповідає нерівності

Для доказу отриманої|одержувати| нерівності перетворимо формулу (6.27) до вигляду

|виду|

…

Потім помножимо ліві і праві частини отриманих рівнянь на відповідні ваги , отримані вирази почлено складемо. У результаті отримаємо формулу яка з урахуванням рівності (6.25) набере вигляду . Звідки випливає очевидна нерівність (6.29), що і підтверджує справедливість формулювання п'ятої властивості загальної арифметичної середини результатів нерівноточных вимірів.