В общем случае проекции преобразуют точки, заданные в системе координат размерностью n, в системы координат размерностью меньше, чем n.
Будем рассматривать случай проецирования 3 измерений в 2. Проекция трехмерного объекта (представленного в виде совокупности точек) строится при помощи прямых проекционных лучей, которые называются проекторами и которые проходят через каждую точку объекта и, пересекая картинную плоскость, образуют проекцию.
Рис. 3.7 Центральная и параллельная проекции
Определенный таким образом класс проекций существует под названием плоских геометрических проекций, т. к. проецирование производится на плоскость, а не на искривленную поверхность и в качестве проекторов используется прямые, а не кривые линии.
Многие картографические проекции являются либо не плоскими, либо не геометрическими.
Плоские геометрические проекции в дальнейшем будем называть просто проекциями.
Проекции делятся на два основных класса:
· параллельные проекции (аксонометрические)
|
|
· центральные проекции
Рис. 3.8 Классификация проекций
Параллельные проекции делятся на два типа в зависимости от соотношения между направлением проецирования и нормалью к проекционной плоскости.
1) Ортографические – направления совпадают, т. е. направление проецирования является нормалью к проекционной плоскости.
2) Косоугольные – направление проецирования и нормаль к проекционной плоскости не совпадают.
Рис. 3.9 Ортографические и косоугольные проекции
Наиболее широко используемыми видами ортографических проекций является вид спереди, вид сверху(план) и вид сбоку, в которых картинная плоскость перпендикулярна главным координатным осям. Если проекционные плоскости не перпендикулярны главным координатным осям, то такие проекции называются аксонометрическими.
При аксонометрическом проецировании сохраняется параллельность прямых, а углы изменяются; расстояние можно измерить вдоль каждой из главных координатных осей (в общем случае с различными масштабными коэффициентами).
Изометрическая проекция – нормаль к проекционной плоскости (а следовательно и направление проецирование) составляют равные углы с каждой из главных координатных осей. Если нормаль к проекционной плоскости имеет координаты (a,b,c), то потребуем, чтобы | a| = |b| = |c| или ±a=±b=±c, т. е. имеется 8 направлений (по одному в каждом из октантов), которые удовлетворяют этому условию. Однако существует лишь 4 различных изометрических проекции (если не рассматривать удаление скрытых линий), т.к. векторы (a, a, a) и (-a,-a,-a) определяют нормали к одной и той же проекционной плоскости.
|
|
Изометрическая проекция обладает следующим свойством: все 3 главные координатные оси одинаково укорачиваются. Поэтому можно проводить измерения вдоль направления осей с одним и тем же масштабом. Кроме того, главные координатные оси проецируются так, что их проекции составляют равные углы друг с другом (120°).
Рис. 3.10 Изометрическая проекция единичного куба
Косоугольные (наклонные) проекции сочетают в себе свойства ортографических проекций (видов спереди, сверху и сбоку) со свойствами аксонометрии. В этом случае проекционная плоскость перпендикулярна главной координатной оси, поэтому сторона объекта параллельная этой плоскости, проецируется так, что можно измерить углы и расстояния. Проецирование других сторон объекта также допускает проведение линейных измерений (но не угловых) вдоль главных осей. Отметим, что нормаль к проекционной плоскости и направление проецирование не совпадают.
Двумя важными видами косоугольных проекций являются проекции:
· Кавалье (cavalier) – горизонтальная косоугольная изометрия (военная перспектива)
· Кабине (cabinet) – фронтальная косоугольная диметрия.
Рис. 3.11 Проекция Кавалье
В проекции Кавалье направление проецирование составляет с плоскостью угол 45°. В результате проекция отрезка, перпендикулярного проекционной плоскости, имеет ту же длину, что и сам отрезок, т.е. укорачивание отсутствует.
Рис. 3.12 Проекция Кабине
Проекция Кабине имеет направление проецирование, которое составляет с проекционной плоскостью угол = arctg(½) (≈26,5°). При этом отрезки, перпендикулярные проекционной плоскости, после проецирования составляют ½ их действительной длины. Проекции кабине являются более реалистическими, чем проекции Кавалье, т. к. укорачивание с коэффициентом ½ больше согласуются с нашим визуальным опытом.
Центральная проекция любой совокупности параллельных прямых, которые не параллельны проекционной плоскости, будет сходиться в точке схода. Точек схода бесконечно много. Если совокупность прямых параллельна одной из главных координатных, осей, то их точка схода называется главной точкой схода. Имеются только 3 такие точки, соответствующие пересечениям главных координатных осей с проекционной плоскостью. Центральные проекции классифицируются в зависимости от числа главных точек схода, которыми они обладают, а, следовательно, и от числа координатных осей, которые пересекают проекционную плоскость.
1) Одноточечная проекция.
Рис. 3.13 Одноточечная перспектива
2) Двухточечная проекция широко применяется в архитектурном, инженерном и промышленном проектировании.
3) Трехточечные центральные проекции почти совсем не используются, во-первых, потому, что их трудно конструировать, а во-вторых, из-за того, что они добавляют мало нового с точки зрения реалистичности по сравнению с двухточечной проекцией.