ASSIGN 1,3
ZIKL ENTER P1
ADVANCE 2
LEAVE P1
LOOP 1, ZIKL
4 Основные понятия теории планирования экспериментов
4.1. Необходимость планирования экспериментов
Теория исходит из абстрактной схемы сложной системы, называемой «черным ящиком» (рисунок 4.1). Считается, что исследователь может наблюдать входы и выходы «черного ящика» (имитационной модели) и по результатам наблюдений определять зависимость между входами и выходами.
Рисунок 4.1 - Абстрактная схема системы
Эксперимент на имитационной модели будем рассматривать состоящим из наблюдений, а каждое наблюдение — из прогонов модели.
Входные переменные х1, х2,..., хт называются факторами. Выходная переменная у называется наблюдаемой переменной (реакцией, откликом).
Факторное пространство — это множество факторов, значения которых исследователь может контролировать в ходе подготовки и проведения модельного эксперимента.
Каждый фактор имеет уровни. Уровни — это значения, которые устанавливаются для каждого фактора при определении условий прогона модели в наблюдении.
|
|
Целью эксперимента является нахождение функции у, при этом предполагается, что значение отклика складывается из двух составляющих
y = f(xl,x2,..., х m,) + е(х1х2,..., хт),
где f(xl,x2,..., хт) — функция отклика (неслучайная функция факторов);
е(х1х2,..., хт) - ошибка эксперимента (случайная величина);
х1х2,..., хт - определенное сочетание уровней факторов из факторного пространства.
Очевидно, что у является случайной переменной, так как зависит от случайной величины е(х1х2,..., хт). Дисперсия D [у], которая характеризует точность измерений, равна дисперсии ошибки опыта: D [у] = D [е].
Дисперсионный анализ — это статистический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных, одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния.
В условиях эксперимента факторы могут варьировать, благодаря чему исследовать влияние фактора на наблюдаемую переменную. Если влияние некоторого фактора на наблюдаемую переменную изменяется при изменении уровня некоторого другого фактора, говорят, что между факторами существует взаимодействие.
Суть анализа заключается в разложении общей вариации случайной величины на независимые слагаемые — эффекты, каждый из которых характеризует влияние того или иного фактора (главный эффект) или их взаимодействия (эффект взаимодействия).
Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ).
Общее число различных сочетаний уровней в ПФЭ для т факторов можно вычислить по формуле
|
|
S = k1 · k2 · k3 ·... ki ·... · km,
где ki — число уровней i -го фактора.
Если число уровней для всех факторов одинаково, то S = km. Каждому сочетанию уровней факторов соответствует одно наблюдение.
Недостаток ПФЭ — большие затраты на подготовку и проведение, так как с увеличением числа факторов и их уровней число наблюдений в эксперименте растет. Например, если имеется шесть факторов с двумя уровнями каждый, то даже при одном прогоне модели в каждом наблюдении нужно S = 26 = 64 наблюдения. Очевидно, что каждый прогон удваивает это число, следовательно, увеличивает затраты машинного времени.
Возрастает также число взаимодействий различных порядков. В табл. 4.1 приведено число главных эффектов и эффектов взаимодействий различных порядков, которые могут быть выявлены при полном исследовании 2т сочетаний уровней.
Таблица 4.1
m | 2m | Число главных эффектов | Число эффектов взаимодействий | ||||
1-го порядка | 2-го порядка | 3-го порядка | 4-го порядка | 5-го порядка | |||
На практике бывает необходимо исследовать влияние на наблюдаемую переменную, например, десяти факторов (т = 10), каждый из которых имеет четыре уровня (k = 4). В этом случае S = kт = 410 = 1 048 576.
Такого рода задачи и явились одной из причин возникновения теории планирования экспериментов.
Планирование экспериментов — один из разделов математической статистики, изучающий рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам.
Планом эксперимента называется совокупность значений факторов, при которых находятся значения оценок функции отклика, удовлетворяющих некоторому критерию оптимальности, например, точности.
Различают стратегическое планирование эксперимента и тактическое планирование эксперимента.
4.2 Стратегическое планирование эксперимента
Целью стратегического планирования эксперимента является определение количества наблюдений и сочетаний уровней факторов в них для получения наиболее полной и достоверной информации о поведении системы.
При стратегическом планировании эксперимента должны быть решены две основные задачи:
а) идентификация факторов;
б) выбор уровней факторов.
Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной.
По итогам идентификации целесообразно разделить все факторы на две группы — первичные и вторичные.
Первичные — это факторы, исследование которых необходимо провести.
Вторичные — факторы, которые не являются предметом исследования, но влиянием которых нельзя пренебречь.
Выбор уровней факторовпроизводится с учетом двух противоречивых требований:
а) уровни фактора должны перекрывать весь возможный диапазон его изменения;
б) общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к большому количеству наблюдений.
Отыскание компромиссного решения, удовлетворяющего этим требованиям, и является задачей стратегического планирования эксперимента.
Так как ПФЭ может потребовать много машинного времени, необходимо располагать методами отбора факторов, оказывающих существенное влияние на отклик. Оказывается, что если исследователя не интересуют взаимодействия высокого порядка, можно получить большое количество информации с помощью исследования лишь некоторой части (1/2,1/4, 1/8 и т. д.) всех возможных сочетаний уровней факторов.
Если в эксперименте производится лишь часть возможных наблюдений, т. е. уменьшается выборка, эксперимент называется частным факторным экспериментом (ЧФЭ).
Когда используется выборка меньшая, чем того требует ПФЭ, плата за это осуществляется риском смешивания эффектов. Под смешиванием понимается то, что исследователь, измеряя один эффект, в то же время измеряет, возможно, и некоторый другой эффект. Например, если главный эффект смешивается с взаимодействием более высокого порядка, то эти два эффекта уже невозможно отделить друг от друга. Таким образом, если анализ показывает наличие некоторого эффекта, то нельзя с уверенностью сказать, главный ли это эффект, или эффект взаимодействия, или некоторая аддитивная комбинация этих эффектов.
|
|
При построении плана ЧФЭ исследователь должен определить эффекты, смешивание которых он может допустить. Успех ЧФЭ достигается в случае, если его план позволяет не смешивать ни один главный эффект с другим.
Если число факторов невелико (обычно меньше пяти), то ЧФЭ нецелесообразен вследствие смешивания эффектов, не позволяющего различить главные эффекты и важные взаимодействия.
В качестве примера рассмотрим план дробного факторного эксперимента (ДФЭ) — одного из видов ЧФЭ, с полным числом возможных сочетаний 25.
В ДФЭ каждый фактор имеет два уровня — нижний и верхний, поэтому общее число наблюдений S = 2т. Планы, построенные по такому способу, обладают определенными свойствами (симметричности, нормированности, ортогональности и ротатабельности), обеспечивающими повышение качества проводимых экспериментов.
Этот план строится следующим образом. Смешиваем взаимодействия высокого порядка и разделим 32 возможных сочетания на четыре блока одинакового размера (по восемь сочетаний в каждом блоке). Затем выберем один из этих блоков для проведения эксперимента. Это означает, что мы должны смешать три эффекта в процессе объединения наблюдений в блоки. Мы сделаем это, выбирая двух- и трехфакторные взаимодействия с общим фактором. В данном случае мы выбрали ВСЕ и ADE, имеющие общий фактор Е. Смешав эти взаимодействия, мы автоматически смешали ABCD. Поэтому мы получили так называемое тождество или определяющее разбиение, I=BCE—ADE—ABCD, которое было использовано для деления 32 наблюдений на четыре блока по восемь наблюдений в каждом. Это означает, что мы утратили возможность распознавания таких эффектов. Использовав это тождество как основу для смешивания в нашем плане, мы должны сделать то же и со следующими эффектами
|
|
A=DE=BCD=ABCE,
B=CE=ACD=ABDE,
C=BE=ABD=ACDE,
D=AE=ABC=BCDE,
E=BC=AD=ABCDE,
AB=CD=ACE=BDE,
AC=BD=ABE=CDE.
Получили семь групп смешивания. Из этого следует, что если взаимодействий нет или ими можно пренебречь, то мы можем по восьми наблюдениям получить информацию о каждом из пяти главных эффектов (А, В, С, D и Е) и использовать данные эффектов взаимодействий АВ и BС для оценки ошибки дисперсионного анализа.
4.3 Тактическое планирование эксперимента
Целью тактического планирования эксперимента является определение необходимого количества прогонов модели в каждом наблюдении.
Так как имитационное моделирование представляет собой статистический эксперимент, то при его проведении необходимо получить достоверный результат с заданной точностью.
В общем случае количество прогонов модели (объем выборки), необходимое для получения оценок наблюдаемой переменной с заданной точностью, зависит от следующих факторов:
- вида распределения наблюдаемой переменной;
- коррелированности между собой элементов выборки;
- наличия и длительности переходного режима функционирования моделируемой системы.
При отсутствии сведений о перечисленных факторах для повышения точности оценок истинного значения наблюдаемой переменной увеличивается количество прогонов модели (объем выборки) для каждого наблюдения, т. е. для каждого сочетания уровней факторов, выбранного на этапе стратегического планирования эксперимента.
Если случайные значения наблюдаемой переменной не коррелированны и их распределение не меняется от прогона к прогону, то выборочное среднее можно считать нормально распределенным. Для случая, когда целью моделирования является определение среднего значения некоторого случайного параметра,требуемое число прогонов NT модели в каждом наблюдении определяется по формуле:
(4.1)
где ε — точность оценки;
sα — среднеквадратическое отклонение;
tα — аргумент функции Лапласа, при заданном уровне значимости α/2 находится по таблице 4.2, в которой даны наиболее актуальные пары α и tα.
Таблица 4.2
α | 0,8 | 0,85 | 0,9 | 0,95 | 0,99 | 0,995 | 0,999 |
tα | 1,28 | 1,44 | 1,65 | 1,96 | 2,58 | 2,81 | 3,30 |
Если требуемое значение среднеквадратического отклонения sα до начала эксперимента неизвестно хотя бы ориентировочно, целесообразно выполнить пробное количество прогонов N0 и вычислить на их основе выборочное среднеквадратическое отклонение или дисперсию, значение которой подставить в (4.1) и получить предварительную оценку числа прогонов NT. Затем выполнить NT -No оставшиеся прогонов, периодически уточняя оценку и число прогонов NT.
Для случая, когда целью моделирования является нахождение вероятности Р исхода какого-либо события, требуемое число прогонов NT модели в каждом наблюдении определяется по формуле
. (4.2)
Параметр tα находится также по таблице значений функции Лапласа в соответствии с заданной величиной достоверности (табл. 4.2). При вычислении NT по формуле (4.2) значение вероятности Р до эксперимента также неизвестно. Поэтому для определения NT нужно поступить так, как и при нахождении NT поформуле (4.1).
В ряде случаев для определения необходимого количества NT прогонов можно использовать упрощенную формулу
(4.3)
Формула (4.3) ориентирована на «худший случай», т. е. для Р = 0,5. Следовательно, она, как правило, будет давать завышенные значения для NT. Но при не очень высоких требованиях к точности применение этой формулы вполне оправдано, так как некоторая избыточность NT будет скомпенсирована исключением процедуры определения ориентировочного значения Р.
Список литературы.
1.Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. - М.: Высшая школа, 1998.
2. Шварц М. Сети связи: Протоколы, моделирование и анализ. - М.: Наука, 1992.
3. Боев В.Д. Моделирование систем. Инструментальные средства GPSS World: Учеб. пособие. – СПб.: БХВ-Петербург, 2004.
4. Кудрявцев Е.М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем. – М.: ДМК Пресс, 2004.
5. Томашевский В., Жданова Е. Имитационное моделирование в среде GPSS. - М.: Бестселлер, 2003.
6. Учебное пособие по GPSS World. /Перевод с английского /.- Казань: Изд-во «Мастер Лайн», 2002.
Кумысай Хасеновна Туманбаева
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
Учебное пособие
Редактор Т.С.Курманбаева
Сводный план 2006г., поз. 13
Сдано в набор
Формат 60х84 1/16
Бумага типографская N2.
Уч.-изд. Лист.-4,4. Тираж 100 экз. Заказ. Цена______
Подписано в печать
Копировально-множительное бюро
Алматинского института энергетики и связи
050013, Алматы, Байтурсынова, 126