Классическое исчисление высказываний

Не менее важными категориями логики являются выводы, которые можно извлечь из тех или иных посылок. Рассмотрим логику высказываний как исчисление.

Исчисление – это сугубо формальная теория, содержание которой фиксируется на специально созданном символическом языке, а все рассуждения строятся как преобразования одних символов в другие по определенным правилам.

Правила вывода[2]:

* где С – последнее допущение

Данные правила представляют собой схемы разрешенных в логике высказываний преобразований. Например, правило (&_в)разрешает от утверждения двух отдельных формул А и В перейти к утверждению более сложной формулы А&В, и так далее (смысл большинства правил будет ясен любому, кто помнит табличные определения соотвествующих связок).

В комментариях нуждаются лишь два правила: введение отрицания (Ø_в) и введение импликации (É_в). Как вы поняли, формула С, фигурирующая в них, обозначает не любое высказывание, а именно последнее допущение. Дело в том, что допущения (гипотезы, версии) довольно часто применяются в построении дедуктивных рассуждений, играя в них вспомогательную роль. И как раз для того, чтобы оценить эту роль, подвести итог рассмотрению того или иного предположения, нужны правила введения отрицания и введения импликации.

Возьмем, например, правило (Ø_в). Над чертой стоят две формулы, противоречащие друг другу: В и ØВ. Это значит, что в какой-то момент наших рассуждений мы пришли к двум взаимоисключающим выводам. Отчего такое могло случиться? Видимо, мы исходили из какого-то ложного допущения (С), и его следует отрицать. В том случае, если допущений было несколько, естественно отрицать последнее из них (если после этого противоречие остается, используем правило (Ø_в) еще раз, и так далее до обнаружения ошибочной посылки). Рассмотрим пример правила введения отрицания:

Предположим, что Земля квадратная. (С)

Тогда тень, отбрасываемая ею, тоже должна быть квадратной. (В)

Но тень Земли на Луне во время лунного затмения – круглая. ( ØВ )

Предположение неверно, т.е. Земля не является квадратной (ØС)

Рассмотрим правило введения импликации. Оно применяется в тех случаях, когда используемое допущение не приводит к явному противоречию, так что вместо двух взаимоисключающих суждений мы получаем одно, вполне ясное и непротиворечивое (В). Можем ли мы утверждать его как очевидную и незыблемую истину? Нет, ведь оно получено с использованием допущения (С), которое само по себе еще не доказано. Но мы вправе утверждать, что по крайней мере суждение В вытекает из упомянутого допущения (СÉВ), то есть В истинно при условии истинности С. Например:

Предположим, число х кратно четырем. (С)

Четыре кратно двум.

Получается, х кратно числу, которое кратно двум.

Значит, х тоже кратно двум. (В)

Итак: если число х кратно четырем, то оно кратно и двум. (СÉВ)

Выводом называется непустая конечная последовательность формул, удовлетворяющая условиям:

1.Каждая из них либо является посылкой, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода;

2. Если в выводе применялись правила (É_в) или (Ø_в), то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из участия в дальнейших шагах вывода

Последнее требование означает, что эти формулы уже были использованы и возвращаться к ним более нельзя. Почему? Если использовалось правило (Ø_в), значит в выводе фигурировало заведомо ложное допущение, из которого было получено противоречие. Очевидно, что делать из него еще какие-либо умозаключения, равно как и использовать уже сделанные, абсурдно. Если же речь идет об использовании правила (É_в), то мы понимаем, что в выводе фигурировало допущение C, позволившее получить некоторую нужную нам формулу B, но само по себе еще не доказанное. Возвращаться к этому допущению (или к формулам, из него выведенным) означало бы выдавать гипотетическую истинность В (при условии С) за категорическую. Это может привести к ошибке под названием «круг в доказательстве».

Доказательством называется вывод из пустого множества не исключенных посылок.

Теоремой (логическим законом) называется последняя формула в доказательстве.

Другими словами, доказать теорему – значит вывести ее из пустого множества не исключенных посылок.