Speech exercises. We can find that some elements form a smaller group inside the big one

I. Read and reproduce.

SUBGROUPS

We can find that some elements form a smaller group inside the big one. This smaller group within the larger is an example of a subgroup. If G is a group with operation *, then the subset H of G is a subgroup if H forms a group under the operation *.

Not every subset H is a subgroup. Subgroups are extraordinarily common. The group of integers, under addition, has subgroups having all even integers, all multiples of 3, all multiples of 4, all multiples of 5, …. Every group G is a subgroup of itself, as is the single element set {I}, which has the trivial multiplication table

X	I
I	I

The number of elements in a group is called the order of the group. The order of a subgroup always divides the order of the group.

II. Topics for discussion:

1. Groups can arise in many quite distinct situations.

2. The concept of a group is abstracted from arithmetic.

II. Say this in English:

Подгруппы:

Подмножество S группы G называется ее подгруппой, если S является группой относительно определяющей операции группы G. Это справедливо I) в том и только в том случае, если множество G содержит все произведения принадлежащих ему элементов и все элементы, обратные его элементам, 2) в том и только в том случае, если для любой пары элементов а, в, из G множество S содержит и произведение ав ^-1. Если G – группа конечного порядка g, то порядок g₁ любой ее подгруппы G₁ является делителем порядка группы. Это теорема доказана Лагранжем.

T E X T II

GRAMMAR: THE ABSOLUTE PARTICIPLE CONSTRUCTION