Уравнение колебаний физического маятника имеет вид [14]:
, (2.30)
где ;
– масса маятника;
– его момент инерции относительно оси вращения;
– расстояние от точки подвеса до центра масс;
– ускорение свободного падения;
– угол отклонения из положения равновесия.
Разложение в ряд Тейлора:
= (2.31)
При малых углах отклонения () и уравнение (2.30) переходит в уравнение гармонического осциллятора (2.1). Для уточнения решения можно учесть следующий член в разложении (2.31), тогда:
. (2.32)
Полученное уравнение может быть решено методами теории возмущений в виде:
. (2.33)
Если углы отклонения не очень велики, то правую часть уравнения (2.33) можно считать малой поправкой (возмущением). При возмущении равном нулю уравнение (2.33) переходит в (2.1) и его решение:
. (2.34)
Решением возмущенного уравнения является суперпозиция колебаний с частотами и . Решение уравнения (2.30) будет содержать набор высших гармоник. Наличие в спектре колебаний с кратными частотами (гармоник) – наиболее важная характерная черта нелинейных колебаний.
В случае не очень больших колебаний период колебаний равен:
. (2.35)
Для произвольных углов:
, (2.36)
где
, (2.37)
- полный эллиптический интеграл первого рода.
Уравнение (2.30) описывает ангармонический осциллятор. Его решение можно представить в виде суперпозиции нескольких гармонических решений. Результаты решения уравнения (2.30) представлены на рис. 2.4 (зависимость ) и на рис. 2.5 (зависимость ).
Рис.2.4 – Зависимость
Рис.2.5 – Зависимость
Любопытно поведение ангармонического осциллятора под действием внешней гармонической силы. Наличие в решении высших гармоник приводит к тому, что резонанс может наступить на различных частотах, кратных собственной частоте гармонического осциллятора. Неизохронность колебаний, то есть зависимость периода (частоты колебаний) от амплитуды приводит к тому, что при резонансе собственная частота осциллятора меняется, и он выходит из резонанса.