Хаотические колебания

Хаотические колебания – это неупорядоченные движения, которые возникают в совершенно детерминированных нелинейных динамических системах различной природы и не связаны с действием на эти системы случайных внешних сил, в том числе и случайных шумов. Представляют собой новый класс движений, который связан часто с состоянием, получившим название странный аттрактор.

Аттрактор Лоренца – это трехмерная система нелинейных автономных дифференциальных уравнений первого порядка вида:

, (2.56)

где - параметры.

В результате численного интегрирования системы (2.56) Лоренц обнаружил, что при , и у этой динамической системы, с одной стороны, наблюдается хаотическое, нерегулярное поведение всех траекторий (рис. 2.8), а, с другой стороны, все траектории притягиваются к некоторому сложно устроенному множеству – аттрактору.

Рис. 2.8 – Зависимость координаты одной из траекторий от времени

Зафиксируем в (2.56) , и будем увеличивать , начиная с нуля. При система Лоренца имеет асимптотически устойчивую в целом стационарную точку – начало координат. К ней притягиваются все траектории (рис. 2.9).

Рис. 2.9 – Траектории системы Лоренца

Когда переваливает через единицу, происходит первая бифуркация. Начало координат теряет устойчивость и от него отделяются две новые устойчивые стационарные точки:

. (2.57)

У линеаризованной в нулевой стационарной точке системы два отрицательных и одно положительное собственное значение. В соответствии с этим у нулевой стационарной точки есть двумерный входящий ус и одномерный выходящий (рис. 2.10).

Рис. 2.10 – Траектории линеаризованной системы Лоренца

У линеаризованных в точках и систем все собственные значения отрицательны. При возрастании параметра пара отрицательных собственных значений этих систем превращается в пару комплексно сопряженных собственных значений. Это, в частности, соответствует тому, что выходящие усы G₁ и G₂ нулевой стационарной точки начинают закручиваться как спирали около стационарных точек и , соответственно (рис. 2.11).

Рис. 2.11 – Траектории системы Лоренца при возрастании

С дальнейшим ростом стационарные точки и поднимаются выше (они лежат в плоскости ), а спиралевидные траектории «разбухают». Это происходит до тех пор, пока при спирали, начинающиеся как выходящие усы нуля, попадают на его входящий ус, образуя две гомоклинические траектории Г₁ и Г₂ (рис. 2.12).