2015-04-08
32223
а) Если при вычислении предела получена неопределенность вида 
, то для ее раскрытия нужно и числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую, входящую в них степень аргумента:
так как
б)
В данном случае при 
и числитель, и знаменатель дроби обращаются в 0, то есть получается неопределенность вида 
. Для раскрытия неопределенности избавимся от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, а также воспользуемся первым замечательным пределом:
Получим:
так как
и
в)
При 
получаем неопределенность вида 
, раскрыть которую можно воспользовавшись вторым замечательным пределом:
Выделяя структуру второго замечательного предела, получим:
2. Найти точки разрыва функции и указать их характер.
Функция определена на всей числовой оси, т.е. 
,
поэтому разрыв возможен только в точках 
и 
.
1) Пусть . Тогда:
Предел функции в точке слева равен бесконечности и, следовательно, точка является точкой разрыва второго рода.
2) Пусть . Тогда:
Односторонние пределы функции в точке конечны, но не равны. Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода, а именно точкой скачка функции.
3. Полное исследование функции проводится по следующей схеме:
1) область определения, область значений функции;
2) четность, нечетность функции, периодичность;
3) асимптоты;
4) промежутки монотонности и точки экстремума;
5) промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;
6) точки пересечения графика функции с осями координат;
7) построение графика.
Например:
а) найти асимптоты графика функции 
.
Решение.
1) Функция 
не определена в точке . Найдем односторонние пределы функции в этой точке:
значит, прямая является вертикальной асимптотой.
2) Найдем
значит, функция имеет наклонную асимптоту 
, где
Таким образом, наклонной асимптотой графика функции является прямая 
.
б) Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции 
Решение.
1) Найдем производную:
2) определим точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума, решив уравнение 
:
При производная не существует.
Точки и разбивают числовую ось на интервалы 
, 
и 
.
3) Определим знак производной на полученных промежутках:
| Промежуток |  |  |  |
| Производная |  | |  |
Таким образом, при 
функция убывает, а при 
− возрастает. Точка является точкой минимума функции. При этом минимальное значение функции равно
в) Найти промежутки выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции 
Решение.
1) Найдем производную второго порядка:
2) Найдем точки, в которых выполняется необходимое условие перегиба, решив уравнение 
Точка разбивает числовую ось на два интервала: 
и 
.
3) Определим знак второй производной на полученных промежутках:
| Промежуток |  |  . |
| Производная второго порядка |  |  |
Таким образом, при 
график функции выпуклый вверх, а при 
− выпуклый вниз (вогнутый).
− точка перегиба, в которой значение функции равно 
