Найти неопределенные интегралы. Результат проверить дифференцированием

а)

Проверка:

В результате дифференцирования получена подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.

б)

При интегрировании применялась формула интегрирования по частям:

Проверка:

В результате дифференцирования получена подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.

в)

Для отыскания интеграла применяется метод неопределенных коэффициентов, согласно которому

и из полученного равенства следует:

Полагая , получим:

Аналогично, при получаем:

И поэтому,

Проверка:

В результате дифференцирования получена подынтегральная функция, значит, интеграл найден верно.

5. Найти градиент функции в точке , и производную по направлению вектора .

1) Найдем частные производные функции и вычислим их значения в точке .

Учитывая, что получим

2) Найдем направляющие косинусы. Так как , то

Производная функции по направлению вектора равна