Критерий «ожидаемое значение — дисперсия»

Критерий ожидаемого значения можно модифицировать так, что его можно будет применить и для редко повторяющихся ситуаций.

Если х — с. в. с дисперсией DX, то среднее арифметическое x^ имеет дисперсию DX/n, где n — число слагаемых в x^. Следовательно, если DX уменьшается, и вероятность того, что x^ близко к MX, увеличивается. Следовательно, целесообразно ввести критерий, в котором максимизация ожидаемого значения прибыли сочетается с минимизацией ее дисперсии.

Пример 2. Применим критерий «ожидаемое значение — дисперсия» для примера 1. Для этого необходимо найти дисперсию затрат за один интервал времени, т.е. дисперсию

з_Т=(C₁∑n_t+C₂n)/T

Т.к. n_t, t = {1, T-1} — с.в., то з_Ттакже с.в. С.в. n_tимеет биномиальное распределение с M(n_t) = np_tи D(n_t) = np_t(1–p_t). Следовательно,

D(з_Т) = D((C₁∑n_t+C₂n)/T) = (C₁/T)² D(∑n_t) =

= (C₁/T)² ∑Dn_t = (C₁/T)² ∑np_t(1-p_t) = (C₁/T)² {∑p_t - ∑p_t²},

где С₂n = const.

Из примера 1 следует, что

М(з_Т) = М(з(Т)).

Следовательно искомым критерием будет минимум выражения

М(з(Т)) + к D(з_Т).

Замечание. Константу «к» можно рассматривать как уровень не склонности к риску, т.к. «к» определяет «степень возможности» дисперсии Д(з_Т) по отношению к математическому ожиданию. Например, если предприниматель, особенно остро реагирует на большие отрицательные отклонения прибыли вниз от М(з(Т)), то он может выбрать «к» много больше 1. Это придает больший вес дисперсии и приводит к решению, уменьшающему вероятность больших потерь прибыли.

При к=1 получаем задачу

M(з(T))+D(з(T)) = n { (C₁/T+C₁²/T²)∑p_t - C₁²/T²∑p_t² + C²/T }

По данным из примера 1 можно составить следующую таблицу

Из таблицы видно, что профилактический ремонт необходимо делать в течение каждого интервала Т^*=1.