Отображения и функции

Функцией называется функциональное соответствие. Если функция f устанавливает соответствие между множествами A и В, то говорят, что функция f имеет тип А → B (обозначение f: А → В). Каждому элементу а из своей области определения функция f ставит в соответствие единственный элемент b из области значений. Это обозначается хорошо известной записью f(а) = b. Элемент а называется аргументом функции, b — значением функции на а.

Полностью определенная функция f: А → В называется отображением А в В. Образ А при отображении f обозначается f(А). Если соответствие f при этом сюръективно, т. е. каждый элемент В имеет прообраз в A, то говорят, что имеет место отображение A на B (сюръективное отображение).

Функции f и g равны, если их область определения — одно и то же множество A и для любого а ∈ A f(a) = g(a).

Всякая нумерация счетного множества является его отображением на N. Каждому человеку соответствует множество его знакомых. Если зафиксировать момент времени, то это соответствие будет однозначным и явится отображением множества M людей, живущих в этот момент, в множество подмножеств M.

Пусть дано соответствие G⊆A×В. Если соответствие H⊆B×А таково, что (b, a) ∈ H тогда и только тогда, когда (а, b) ∈ G, то соответствие Н называется обратным к G и обозначается G^-1. Если соответствие, обратное к функции f: А → В, является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f, и обозначается f^-1. Так как в обратном соответствии образы и прообразы меняются местами, то для существования функции, обратной к f: A → В, требуется, чтобы каждый элемент b из области значений f имел единственный прообраз. Это в свою очередь означает, что для функции f: А → В обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимнооднозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пусть даны функции f: А → В и g: B → C. Функция h: А → С называется композицией функций f и g (обозначение f°g), если имеет место равенство h (х) = g (f(x)), где x∈A. Композиция f и g представляет собой последовательное применение функций f и g; g применяется к результату f. Часто говорят, что функция h получена подстановкой f в g. Знак ° аналогично умножению часто опускается.

Задание на курсовую работу

Цель работы:

овладение системным подходом к анализу сложных организационно-технических систем;
освоение методов формализованного описания сложных систем и оценка эффективности их функционирования;
закрепление знаний и развитие практических навыков анализа систем различного класса.