2015-05-05
500
Радиус и интервал сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если 
— точка сходимости ряда (30.2), то ряд сходится абсолютно во всех точках интервала 
Если 
— точка расходимости (30.2), то ряд расходится во всех точках интервалов 
Отсюда делаем вывод, что существует такое число R, что на (-R, R) ряд (30.2) сходится абсолютно, а на 
расходится. Таким образом, справедлива следующая теорема.
Т: Областью сходимости ряда (30.2) является интервал (-R, R), В каждой точке этого интервала ряд сходится абсолютно, а на интервалах 
— расходится
Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости ряда (30.2), a R — его радиусом сходимости. Для некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R= 0), для других — охватывает всю ось OX(R= 
). При х= R ряд может и сходиться, и расходиться (вопрос решается для каждого конкретного ряда).
Укажем способ определения радиуса сходимости ряда (30.2). Рассмотрим ряд из абсолютных величин его членови применим к нему признак Даламбера: 
Если 
то ряд из абсолютных величин членов (30.2) сходится и ряд (30.2) сходится абсолютно. Обозначим
|
|
|
(30.4)
При 
ряд (30.2) расходится, так как общий член ряда 
не стремится к 0. Таким образом, формула (30.4) дает радиус сходимости.
Пример: Найти радиус и интервал сходимости ряда
интервал абсолютной сходимости (- 3, 3). На концах интервала: при х = 3 имеем 
— гармонический расходящийся ряд,
при х= 
— знакочередующийся ряд, сходящийся условно.
Область сходимости данного ряда — промежуток [-3, 3)
Ряд (30.1) сводится к ряду (30.2) заменой переменной 
Если ряд 
имеет радиус сходимости R, то ряд (30.1) сходится абсолютно для 
т.е. на интервале 
| Ряды Тейлора и Маклорена |
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е.  , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a. Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:
Разложение некоторых функций в ряд Маклорена
· 
· 
· 
· 
· 
|
| Пример 1 |
Найти ряд Маклорена для функции  .
Решение.
Воспользуемся тригонометрическим равенством  . Поскольку ряд Маклорена для cos x имеет вид  , то можно записать
Отсюда следует:
|
| Пример 2 |
Разложить в ряд Тейлора функцию  в точке x = 1.
Решение.
Вычислим производные:
Видно, что  для всех n ≥ 3. Для x = 1 получаем значения:
Следовательно, разложение в ряд Тейлора имеет вид
|
| Пример 3 |
Найти разложение в ряд Маклорена функции e kx, k − действительное число.
Решение.
Вычислим производные:
Тогда в точке x = 0 получаем
Следовательно, разложение данной функции в ряд Маклорена выражается формулой
|
| Пример 4 |
Найти разложение в ряд Тейлора кубической функции x 3 в точке x = 2.
Решение.
Обозначим  . Тогда
и далее  для всех x ≥ 4. В точке x = 2, соответственно, получаем
Таким образом, разложение в ряд Тейлора имеет вид
|
| Пример 5 |
Найти разложение в ряд Маклорена функции  .
Решение.
Пусть  , где μ − действительное число, и x ≠ − 1. Производные будут равны
При x = 0, соответственно, получаем
Следовательно, разложение в ряд записывается в виде
Полученное выражение называется биномиальным рядом.
|
| Пример 6 |
Найти разложение в ряд Маклорена функции  .
Решение.
Используя формулу биномиального ряда, найденную в предыдущем примере, и подставляя  , получаем
Ограничиваясь первыми 3-мя членами, разложение можно записать в виде
|
|
|
|
