Примеры разложения функции в ряд Фурье и суммирования числового ряда с помощью ряда Фурье

Зададим функцию f формулой

и найдем ее коэффициенты Фурье:

Другими словами, мы вычислили формальный ряд Фурье функции f:

Но для функции f, очевидно, выполняются условия теоремы из предыдущего параграфа, а значит для всех справедливо равенство

Полагая в нем ,найдем сумму замечательного числового ряда

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны - это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a_o+ a₁cosx+a₂cos2x+a₃cos3x+...+b₁sinx+b₂sin2x+b₃sin3x+...,

где a_o, a₁,a₂,...,b₁,b₂,.. - действительные константы, т.е.

(1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a_o,a_n и b_n называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда - использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a_o+c₁sin(x+α₁)+c₂sin(2x+α₂)+...+c_nsin(nx+α_n)

Где a_o - константа, с ₁=(a₁²+b₁²)^1/2, с _n=(a_n²+b_n²)^1/2- амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен a_n=arctg a_n/b_n.

Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) или c₁sin(x+α₁) называется первой или основной гармоникой, (a₂cos2x+b₂sin2x) или c₂sin(2x+α₂) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.