Контрольной работы №2

Современные устройства систем мобильной связи (базовые и мобильные станции, контроллеры и др.) содержат в своей структуре ЭВМ (микропроцессоры) выполняющих функции управления цифровым потоком, работой узлов радиотракта и различные узлы обработки информационных сигналов. Функциональные узлы цифрового тракта выполнены на ИС различной степени сложности с использованием наименьших неделимых микроэлектронных схем (изделий) предназначенных для выполнения логических операций или хранения бита информации, называемых элементами. К ним можно также отнести усилители, повторители, формирователи и др., построенные на основе двухпозиционных ключей.

Существующие в природе сигналы практически все можно отнести к аналоговым, когда процесс непрерывен во времени, то есть может принимать любые значения (в некоторых пределах) в любой момент времени.

Цифровые сигналы могут принимать только два (три) разрешенных (с некоторой точностью) значения. Эта особенность цифрового сигнала позволяет ему успешнее противостоять воздействию шумов, наводок, помех. Небольшие отклонения сигнала от разрешенных значений практически не искажают цифровой сигнал. Это позволяет проводить с ним сложную и многоступенчатую обработку (в том числе и хранение) со значительно более высоким качеством по сравнению с аналоговым. Характеристики цифровых устройств, как и результаты прохождения через них сигналов, можно точно рассчитать и прогнозировать его возможные значения с учетом старения и небольшого изменения параметров.

Отмеченные достоинства цифровых сигналов приводят к некоторым ограничениям в его применении. Он должен оставаться на разрешенном уровне в течение некоторого минимального уровня, что принципиально ограничивает быстродействие цифровых устройств. Конечное значение числа уровней, принимаемых сигналом, делает его менее эффективным с точки зрения объема передаваемой информации (по сравнению с аналоговым). Кроме того, для передачи аналоговых сигналов их обязательно необходимо преобразования в цифровую форму, с последующим восстановлением на приемной стороне, что требует применения специальной аппаратуры (ЦАП и АЦП).

Для представления информации в цифровой технике пользуются кодовыми словами, обычно обладающими равной длиной. Для записи слов применяют простейший алфавит, состоящий из двух букв, который принято обозначать символами 0 и 1. Числа, представляемые кодовыми словами в двоичной системе счисления, сохраняют свой смысл, а любая другая информация, также описанная в двоичной системе, будет характеризоваться логическим нулем (лог.0) или логической единицей (лог.1).

Цифровые устройства строятся из логических микросхем, преобразующих последовательность входных цифровых сигналов в выходную последовательность. Способ преобразования задается в форме таблицы, называемой таблицей истинности (таблицей состояний) или в виде временных диаграмм.

Все цифровые микросхемы работают с логическими сигналами, имеющими два разрешенных уровня напряжения: логической единицы (с единичным уровнем) и логического нуля (нулевым уровнем). Обычно логическому нулю соответствует низкий уровень напряжения, а логической единице – высокий, что принято называть «положительной логикой». При передаче сигналов на большие расстояния чаще применяется «отрицательная логика», логическому нулю соответствует высокий уровень, а логической единице – низкий. Применяются и более сложные методы кодирования.

Для описания цифровых устройств используются различные модели, отличающиеся сложностью и точностью описания физических процессов:

- логическая модель;

- модель с временными задержками;

- модель с учетом электрических эффектов (электрическая модель).

Простейшая, логическая модель, применима для низкоскоростных цифровых схем. Использование второй модели, учитывающей временные сдвиги срабатывания логических элементов, позволяет формировать структуры, обладающие высоким быстродействием при одновременном изменении нескольких сигналов. Наиболее сложная модель применяется при проектировании цифровой схемы любой сложности, учитывающей одновременное изменение нескольких сигналов и сопротивления и емкости на входах и выходах при их объединении и передаче сигналов на большие расстояния.

Для оценки применимости конкретной микросхемы и условия взаимодействия ее с подключаемыми другими цифровыми схемами необходимо использовать таблицы истинности каждой из них, входные и входные уровни напряжений (токов), соответствующих приходу логического нуля (I_IL, Input Low) и логической единицы (I_IН, Input High). Очень важным являются сведения о допустимых отклонениях этих значений и временных задержек для сохранения их взаимодействия. Например, допустимые уровни входных напряжений, при которых микросхема воспринимает их еще как правильные логические уровни нуля и единицы (U_IH >2,0 B, U_IL < 0,8 B). Входной ток микросхемы, например, при приходе логического нуля (например, I_IL = - 0,1 мА), а единицы (например, I_IН =20 мкА) одной и той же микросхема может отличаться от выходного I_ОL < - 0,4 мA, I_ОН < 8 мА (считается, что положительный ток втекает в выход микросхемы, а отрицательный – вытекает).

Величина задержек логических сигналов между выходами и входами может достигать значений от единиц до десятков наносекунд. В справочниках обычно указываются максимальные задержки при переходе выходного сигнала из единицы в нуль (t_PHL) и при переходе из нуля в единицу (t_PLН), где P - Propagation (распространение), H – High (высокий), L – Low (низкий), может составлять t_PHL < 11 нс, а t_PLН > 8 нс.

Формирование логических функций

Таблица истинности является часто используемым, наряду с аналитическим выражением, временными диаграммами, геометрическими фигурами и графами, способом задания функции, связывающим состояние логических элементов, определяемых воздействием входных кодовых слов (аргументов) с выходным словом (функцией). Логическая модель цифрового устройства содержит все возможные сочетания значений аргументов с соответствующими значениями логической функции, представляемая в форме таблицы. Для числа аргументов n таблица истинности содержит 2ⁿ сочетаний значений аргументов, а число функций составит различных значений. Примером таблицы истинности для двух аргументов является таблица 1

Таблица 1

Анализ значений функций показывает, что часть из них являются тривиальными:

f₀ = 0 (константа), f₃ = x₁; f₅ = x₂; f₁₅ = 1 (константа), что говорит об избыточности в описании логической функции. Кроме того, при увеличении числа аргументов количество функций быстро увеличивается, что приводит к затруднениям при пользовании таблицей.

Вариантом изображения таблицы истинности является таблица 2, для функции четырех аргументов

Таблица 2

Все возможные аргументы делятся на две группы. Столбцам и строкам таблицы присваиваются требуемые комбинации аргументов одной и другой группы. В клетках таблицы, находящихся на пересечении столбцов и строк, указывают соответствующие значения логической функции.

Сложность табличного представления логической функции может быть решающим фактором для перехода к аналитическому способу описания логического выражения. При аналитическом способе задания логической функции ее запись представляется в форме логического выражения, показывающего, какие, и в какой последовательности должны выполняться логические операции над аргументами функции. Функции, принимающие значения лог.0 и лог.1 (как и аргументы) называют функциями алгебры логики (ФАЛ). Устройства, предназначенные для формирования функций алгебры логики, называют логическими или цифровыми устройствами. Известны универсальные (канонические) аналитические формы представления функций непосредственно из таблицы истинности, а отыскание ее является задачей синтеза логических схем. Эта логическая функция в дальнейшем обычно упрощается или минимизируется с представлением ее в виде дизъюнкции или конъюнкции ряда членов. Это позволяет при реализации логического (цифрового) устройства использовать минимальное число однотипных логических устройств, формируя совершенную дизъюнктивную нормальную (СДНФ) или совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ) логической функции.

Формирование требуемой логической функции основано на применении логических аргументов, принимающих два состояния лог.0 и лог.1, базируется на использовании алгебры логики, называемой булевой и, являющееся частным случаем переключательной (при большем числе возможных состояний).

Основные положения булевой алгебры:

Операция – четко определенное действие над одним или несколькими операндами, создающее новый объект (результат). Операнды, участвующие в операции, и результат могут принимать только значения «ноль» или «единица». Булеву операцию, проводимую над одним операндом, называют одноместной, над двумя – двуместной и т.д.

Основными операциями, применяемыми в цифровой схемотехнике, являются:

Отрицание – одноместная операция (читается «не х»), результатом (на выходе логического элемента) которой является значение, противоположное значению операнда.

Дизъюнкция – булева операция (читается «х ₁ или х ₂»), результатом которой является значение нуль тогда и только тогда, когда оба операнда имеют значение нуль.

Конъюнкция - булева операция (читается «х ₁ и х ₂»), результатом которой является значение единица тогда и только тогда, когда оба операнда имеют значение единица. Выражение может иметь вид: .

Для перечисленных операций справедливы следующие законы и свойства:

· переместительный закон (коммутативность):

(1)

· сочетательный закон (ассоциативность)

(2)

· распределительный закон (дистрибутивность):

(3)

· исключение повторения:

(4)

· закон поглощения:

(5)

· закон склеивания:

(6)

· закон де Моргана:

(7)

· свойства отрицания и констант:

(8)

· тождества

(9)

Справедливость приведенных законов булевой алгебры легко проверяется подстановкой в левую и правую части тождеств всех возможных комбинаций значений операндов с вычислением логических функций обеих частей тождеств и их последующим сравнением.

Исключение (запрет) – двухместная операция, результатом которой является значение единицы тогда и только тогда, когда значение одного операнда равно единице, а другого – нулю. Выражение имеет вид:

(10)

Cумма по модулю два (исключающее ИЛИ) - двухместная булева операция

, (11)

результатом которой является значение единицы тогда и только тогда, когда одного операнда равно единице, а другого – нулю.

Отрицание дизъюнкции (операция ИЛИ НЕ, стрелка Пирса) - двухместная булева операция

, (12)

результатом которой является значение единицы тогда и только тогда, когда оба операнда равны нулю.

Эквивалентность - двухместная булева операция

, (13)

результатом которой является значение единицы тогда и только тогда, когда оба операнда имеют одинаковые значения.

Импликация (включение) - двухместная булева операция

, (14)

результатом которой является значение нуль тогда и только тогда, когда оба операнда имеют одинаковые значения.

Отрицание конъюнкции (операция НЕ И, штрих Шеффера) - булева операция

, (15) результатом которой является значение нулю тогда и только тогда, когда оба операнда равны единице.

Булевы функции одного и двух аргументов называют элементарными, а схема, которая осуществляет такую операцию – вентилем (логическим элементом). Условные графические обозначения и названия логических элементов, применяемых в схемотехнике, и их названия приведены в таблице 3

Таблица 3

Название операции	Название элемента	Условное графическое обозначение
Отрицание	НЕ
Дизъюнкция	ИЛИ
Конъюнкция	И
Отрицание дизъюнкции (элемент Пирса)	НЕ ИЛИ
Отрицание конъюнкции (элемент Шеффера)	НЕ И
Отрицание эквивалентности	Исключающее ИЛИ
Эквивалентность	Эквивалентность
Импликация	ЕСЛИ, ТО
Запрет (отрицание импликации)	НЕТ

Примером, подтверждающим справедливость рассмотренных выше тождеств, является анализ формул де Моргана

Левая часть первого выражения обращается в лог.1 только при условии, что , что возможно лишь при условии х₁ = 0 и х₂ = 0. Поскольку правая часть может обращаться в лог.1 только при = 1 и = 1, т.е. при х₁ = 0 и х₂ = 0, что указывает на существование тождества при х₁ = 0 и х₂ = 0, когда левая и правая части первого выражения обращаются в логическую единицу. При других значениях аргументов обе части этого выражения превращаются в лог.0, что и доказывает справедливость тождества.

Из выражения следует, что обе его части являются лог.0 при условии, что х₁ = 1, и х₂ = 1, а при остальных возможных сочетания аргументов обе части равны лог.1, что подтверждает справедливость тождества.

Для применения теоремы де Моргана к сложным логическим выражениям следует пользоваться следующим правилом: инверсиия любого сложного выражения, в котором аргументы (либо их инверсии) связаны операциями конъюнкции или дизъюнкции, может быть представлена выражением без инверсии с изменением всех знаков конъюнкции на знаки дизъюнкции, знаков дизъюнкции на знаки конъюнкции и инверсию всех аргументов. Пример: .

Принцип двойственности

Располагая элементарными узлами, реализующими основные операции (таблица 3), можно построить логическую схему, позволяющую реализовать заданный алгоритм преобразования логических переменных. В соответствие с перечнем различают три основных логических элемента, которые приведены в таблице 3: НЕ, ИЛИ, И.

Из сравнения операций И и ИЛИ таблицы 3 можно заметить, что из постулатов, определяющих операцию И:

если , то (16)

если , то (17)

легко получить постулаты, определяющие операцию ИЛИ, которое можно сформулировать:

если в условиях, определяющих операцию И, значения всех переменных и самой функции заменить их инверсией, а знак логического умножения - знаком логического сложения, то получим постулаты, определяющие операцию ИЛИ.

Это свойство взаимного преобразования постулатов операций логического сложения и умножения носят название принципа двойственности. Важным практическим следствием этого принципа является возможность записи логического выражения (построения логической схемы), используя операции: только И и НЕ или ИЛИ и НЕ.

Как показывают соотношения (10)…(15) операции: исключение, суммирование по модулю два, ИЛИ-НЕ, логическая равнозначность, импликация, а так же И-НЕ могут быть выражены через операции элементарных функций: И, ИЛИ, НЕ.

Таким образом, через элементы (таблица 3), выполняющие элементарные функции можно реализовать любую сложную логическую функцию. Такую систему функций называют полной системой или базисом, но как следует из последних обсуждений вполне можно ограничиться меньшим набором элементарных функций, формируя минимальный базис. При этом базис И, ИЛИ, НЕ не является минимальным ибо из всей савокупности функций можно исключить либо функцию И, либо функцию ИЛИ, сохраняя в оставшемся наборе функций, свойства базиса. Исключив функцию И можно выполнять операцию И, выразив ее через оставшиеся операции ИЛИ и НЕ. Например, операцию конъюнкции можно заменить, проделав:

,

дважды операцию инверсии и, применив закон де Моргана, сведя к операциям ИЛИ, НЕ.

Как видно такая замена принципиально возможна, но требует применения трех операции инверсии и одной ИЛИ, что на практике приводит к усложнению логической схемы и поэтому, чаще сохраняют неминимальный базис.

Синтез логических устройств

Логические устройства могут быть классифицированы по различным признакам. В общем случае на входе, как и на выходе логического устройства, могут действовать n и m переменных, соответственно, т.е. присутствуют n- и m - разрядные коды. Поэтому логические устройства можно классифицировать по способу ввода и вывода информации на: последовательные, параллельные и смешанные.

Последовательным называют устройство, в котором все переменные, подаваемые на вход, формируют на выходе последовательность, снимаемую разряд за разрядом.

Параллельным называют устройство, в котором все переменные, подаваемые на вход и все разряды, снимаемых с выхода переменных, снимаются одновременно.

В последовательно-параллельных устройствах входные и выходные переменные обладают различной структурой: могут либо вводиться символ за символом (последовательно), а с выхода снимаются одновременно (параллельно), либо наоборот.

По принципу действия все логические устройства делятся на два класса: комбинационные и последовательностные.

Комбинационными называют логические устройства, выходные сигналы которых однозначно определяются только действующей в настоящий момент комбинацией входных переменных (не зависит от ранее действующих значений). Такое устройство называют автоматом без памяти. К функциональным узлам комбинационного типа относят сумматоры, дешифраторы, мультиплексоры и демультплексоры, схемы сравнения и преобразователи кодов, входящие в структуры цифрового тракта приемников.

Последовательностными называют логические устройства, выходные сигналы которых определяются комбинацией переменных, действующих в настоящий момент с учетом всех предыдущих воздействий. Такие устройства называют цифровым автоматами. К функциональным узлам последовательностного типа относятся регистры, счетчики, генераторы чисел.

Рассмотрим процесс синтеза логического устройства комбинационного типа на основе заданной в различной форме логической функции, например, представленной логическим выражением на основе некоторого базиса. При этом функция алгебраической логики может быть представлена в одной из двух стандартных форм. Совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ), когда сумма элементарных логических произведений, в каждом из которых аргумент или его инверсия, встречается один только раз. Совершенной к онъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называют логическое произведение элементарных логических сумм, в каждой из которых аргумент или его инверсия водит один раз.

Существует следующий порядок формирования функции алгебраической логики в дизъюнктивной нормальной форме:

1. В таблице истинности находят все столбцы, где выходная переменная f (x₁, x₂, x_3,..) принимает значении равное 1.

2. Из каждого такого столбца составляют конъюнкцию всех входных переменных, присваивая х_i, когда соответствующая переменная равна лог.1 и , когда она равна лог.0; указанным способом получают число произведений, равное числу столбцов в которых f (x₁, x₂, x_3,..) =1.

3. Записывают дизъюнкцию всех найденных произведений, получая логическую функцию.

Пример:

Таблица истинности для трех аргументов имеет вид (таблица 4)

Таблица 4

x1
x 2
x 3
f(x1,x2, x3)

В столбце 3: ;

столбце 5:

столбце 7: .

Искомая дизъюнктивная нормальная форма находится как сумма полученных произведений:

f(x₁,x_2, x₃) = К₃ К₅ К₇ = (18)

Полученная дизъюнктивная нормальная форма логической функции является совершенной, т.к. каждая дизъюнкция содержит все аргументы и является простой конъюнкцией аргументов или их инверсией.

Структурная схема логического устройства, синтезированного непосредственно по канонической форме совершенной дизъюнктивной нормальной форме (18) приведена на рис 1.

Рис.1

Если функция алгебры логики не обладает совершенной ДНФ, то ее требуется привести к совершенной форме, выполнив ряд дополнительных действий. Например, логическая функция

не является СДНФ, т.к. две первых конъюнкции не содержат всех аргументов, а последняя – не является простой конъюнкцией. Для приведения ее к СДНФ

добавим к первому члену выражения вида .

Для получения конъюнктивной нормальной формы логической функции перемножают столбцы таблицы истинности, в которых дизъюнкция всех переменных равна нулю. Поскольку дизъюнкция приобретает нулевое значение только тогда, когда все переменные равны нулю, то это обеспечивают, присваивая х_i, когда соответствующая переменная равна лог.0 и , когда она равна лог.1; указанным способом получают число произведений, равное числу столбцов в которых f (x₁, x₂, x_3,..) =0. Примером конъюнктивной нормальной формы логической функции, заданной таблицей истинности (таблица 4), является

, (19)

которая одновременно является и совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) логической функции.

Структурная схема логического устройства, описанного СКНФ (19), аналогична, изображенной на рис.1, но начинается с логических элементов ИЛИ, а завершается логическим элементом И на пять входов.