Теория функций и функциональный анализ

(4 семестр 2009г)

Опр.: Кольцо — система множеств, замкнутая относительно конечного объединения, пересечения и разности.

Опр.: Единицей E в системе множеств S называется такое множество, что какое бы множество A мы не выбрали, оно всегда содержится в E.

Опр.: Кольцо с единицей называется алгеброй.

Опр.: Кольцо замкнутое относительно счетных объединений называется -кольцом.

Опр.: Кольцо замкнутое относительно счетных пересечений называется -кольцом.

Опр.: -кольцо с единицей называется -алгеброй.

Лемма: Всякая -алгебра является -алгеброй т наоборот.

Теорема: Для всякой системы множеств S существует минимальное кольцо, содержащее эту систему. Такое кольцо единственно.

Опр.: Система множеств P называется полукольцом, если она обладает следующими свойствами:

Теорема: Кольцо, порожденное полукольцом, состоит из всевозможных конечных объединений элементов полукольца. Кольцо, порожденное полукольцом, состоит из всевозможных конечных объединений непересекающихся попарно элементов полукольца.

Лемма: Пусть множество B содержит , тогда существует l и множества , таких что .

Теорема: Кольцо, порожденное полукольцом, состоит из всевозможных конечных объединений множеств полукольца.

Лемма: Даны два измеримых пространства и , и отображение , тогда справедливо: Если — полукольцо (кольцо, алгебра, -алгебра), то — полукольцо (кольцо, алгебра, -алгебра), т.е. прообраз системы множеств есть такая же система как и ее образ.

Опр.: Пусть имеется 2 пространства: и , и отображение , называется измеримым, если .

Свойство: Суперпозиция измеримых отображений измерима. Если - измерима, а - борелевская, то - измерима.

Теорема: (критерий измеримости) Пусть дано измеримое пространство и отображение , тогда измерима, тогда и только тогда, когда .

Лемма: Пусть и измеримые функции. Рассмотрим множество . Тогда множество измеримо, т.е.

Свойства измеримых функций:

1) Если измерима, , то измерима, т.е. линейная функция от измеримой также измерима.

2) Пусть и измеримы, тогда

3) Пусть и измеримы, тогда

4) Пусть и измеримы, тогда измерима.

5) Из свойств 1 и 2 следует измеримость функции образующей линейное пространство.

6) Дано последовательность из измеримых функций , , тогда измеримо.

Опр.: Функцию будет называть ступенчатой, если она принимает конечное число значений. Простой, если она принимает не более, чем счетное число значений.

Лемма: Пусть простая, тогда измеримая, тогда и только тогда, когда измерима.

Теорема: Всякая измеримая функция является пределом последовательности простых измеримых функций.

Теорема: Всякая неотрицательная измеримая функция является пределом неубывающей последовательности ступенчатых функций.

Теорема: Пусть имеется 2 измеримые функции и , и прообраз борелевской алгебры, и пусть измерима в паре , тогда существует борелевская функция , т.ч.

Опр.: Пусть дано некоторое множество , — система его подмножеств. Задано отображение , тогда функция называется мерой, если она конечна, не отрицательна и .

Свойства меры:

1) Если , то — мера.

2) .

3) Дана последовательность множеств , тогда .

4) Если .

5) Пусть множества , , тогда .

Опр.: Имеется пространство — измеримое пространство с мерой. Мера называется счетно-аддитивной на , если .

Свойства:

5’)

6’) если

Лемма: Конечная аддитивная мера счетно-аддитивна, тогда и только тогда, когда она счетно-полуаддитивна.

Опр.: Семейство называется суммируемым, если его сумма конечна.

Свойства: ; .

Свойство непрерывности меры: имеется измеримое пространство с мерой , которое счетно-аддитивно. Рассмотрим последовательность не возрастает и пусть , тогда .

Другой вариант непрерывности:

Пусть неубывающая последовательность множеств и , тогда .

Опр.: Внешняя мера . покрыто , если .

Свойства: 1) ; 2) если , то .

Опр.: Множество называется измеримым, если , где — кольцо, порожденное полукольцом. Расстоянием между множествами назовем .

Свойства расстояния:

1) — правило треугольника.

2) .

3) .

Свойства измеримых множеств:

1) Измеримые множества образуют кольцо.

2) Внешняя мера на кольце измеримых множеств является мерой.

3) Внешняя мера счетно-аддитивная на алгебре измеримых множеств.

4) Алгебра измеримых множеств является -алгеброй.

Опр.: Мерой Лебега называется мера, определенная на системе измеримых множеств и совпадающая на с внешней мерой.

Теорема: — измеримы и . Рассмотрим — измеримо .

Опр.: Мера -конечной, если пространство можно представить в виде объединения непересекающихся последовательностей множеств , таких, что - конечно.

Опр.: Пусть и - измеримая и простая функция. Рассмотрим ряд , если он сходится, то называется интегрируемой по Лебегу. — значение , — прообраз .

Свойства:

1) .

2) Если интегрируемая и простая и const, — интегрируемая функция, то .

3) Если — простые и интегрируемые функции и их сумма простая и интегрируемая, то .

4) Аналогично для разности.

5) Если , то .

6) 4) и 5) и если , тогда .

7) Пусть п.в. (почти всюду), тогда .

Лемма: Если интегрируема, а на каждом из множеств функция постоянна, тогда , где — необязательно различные значения функций на множествах постоянства .

Опр.: Пусть измерима, тогда называется интегрируемой на измеримом множестве , если существует последовательность простых интегрируемых на множестве функций, равномерно сходящихся на к .

8) если простые, интегрируема и , то интегрируема.

Лемма: Пусть интегрируема на , тогда интегрируема на .

Лемма: Пусть , последовательность простых интегрируемых функций, , простые и , тогда, начиная с некоторого номера, будет интегрируема.

Лемма: Если интегрируема на и последовательность интегрируемых функций, которые равномерно сходятся к на , то последовательность имеет предел.

Лемма: Пусть даны 2 последовательности и , — простые и интегрируемые, тогда , т.е. предел не зависит от способа выбора последовательностей, равномерно сходящихся к .

Опр.: Интегралом от интегрируемой функции на множестве называется предел последовательности интегралов от простых функций, равномерно сходящихся к данной функции на множестве .

9) .

10) Неравенство Чебышева: Пусть измеримая функция, п.в. Рассмотрим множество , тогда . Если какой-нибудь интеграл не существует, то он заменяется на .

Следствие: Пусть и , тогда п.в.

Свойство аддитивности интеграла Лебега: Пусть интегрируемая на , тогда она интегрируема на любом измеримом подмножестве.

Свойство счетной аддитивности интеграла Лебега: Пусть . Если интегрируема на множестве , то она интегрируема на любом измеримом подмножестве и .

Теорема: (о равномерном предельном переходе под знаком интеграла Лебега): Пусть — последовательность не обязательно простых интегрируемых функций, равномерно сходящаяся на множестве к функции , тогда предельная функция интегрируема и и .

Виды сходимости:

0) Равномерная сходимость.

1) Сходимость всюду: .

2) Сходимость почти всюду. Множество измеримо и .

3) Сходимость по мере: т.е. .

4) Сходимость в среднем порядка : интегрируемая функция и .

Теорема: Из равномерной сходимости следует сходимость всюду. Из сходимости всюду следует сходимость почти всюду. Из сходимости почти всюду следует сходимость по мере.

Опр.: Мера называется полной, если всякое подмножество множества меры ноль измеримо. Само множество тоже имеет меру ноль.

Теорема: Пусть — измеримое пространство с мерой. , — полная. Пусть последовательно (сходится по мере), тогда существует последовательность , которая сходится к почти всюду.

Теорема (Егорова): Пусть дано измеримое пространство с мерой , — полная, и последовательность сходится к почти всюду, тогда множество , мера дополнения которого и на .

Теорема: (критерий сходимости почти всюду): Пусть измеримое пространство с мерой. — полная, и последовательность сходится к почти всюду, тогда, и только тогда, когда .

Опр.: Последовательность называется фундаментальной по мере, если

Утверждение: фундаментальна по мере, тогда, и только тогда, когда существует измеримая функция , к которой сходится по мере.

Опр.: равномерно фундаментальна по мере, если .

Утверждение: Последовательность сходится почти всюду к некоторой измеримой функции, тогда, и только тогда, когда она равномерно фундаментальна по мере.

Теорема (Лебега): Пусть измеримой пространство с мерой, — полная, и последовательность, последовательность измеримых функций, сходится к почти всюду, — измеримая и интегрируемая функция, , тогда и интегрируемы и .

Теорема (Леви): Пусть измеримой пространство с мерой, — полная,, имеется неубывающая последовательность функций , которые интегрируемы и , тогда последовательность , которая конечна почти всюду и .

Следствие: Пусть последовательность неотрицательных функций. Рассмотрим ряд . Справедливо следующие равенство: .

Теорема (Фату): Пусть имеется последовательность интегрируемых функций, и существует , т.ч. , тогда является конечным п.в. и справедливо неравенство .

Теорема: (Связь между интегралом Лебега и интегралом Римана): Пусть , ограничена и интегрируема по Риману, тогда интегрируема по Лебегу по мере и верно следующие .

Опр.: Пусть имеется 2 измеримых пространства и , — полные конечные меры. Пусть . Определим — это прямое произведение — полукольцо. Определим на этом полукольце меру — произведение мер .

Теорема: (о плоской мере): Пусть имеются измеримые пространства с полной мерой и . — -алгебра. Рассмотрим измеримое множество . Определим множество .

Пусть , тогда для почти всех множества является измеримым, т.е. .

Функция , тогда — измерима и интегрируема и.

Следствие: Пусть , — измерима и интегрируема, тогда , где — подграфик функции , — мера Лебега.

Теорема: (Фубини): пусть имеются 2 измеримых пространства и . Рассмотрим функцию 2х переменных , она —измерима и интегрируема, тогда справедливы утверждения:

1) для почти всех функция является измеримой, интегрируемой относительно меры и является измеримой функцией относительно алгебры и интегрируемой по мере .

2) Справедливо равенство: (плоский интеграл можно заменить 2мя повторными): .

3) Аналогичные утверждения справедливы для интеграла взятого в обратном порядке.

Теорема: (обратная к теореме Фубини): пусть функция . Ее повторные интегралы существуеют и равны, тогда исходная функция интегрируема по прямому произведению мер и справедлива теорема Фубини.

Следствие: Если повторный интеграл от модуля функции конечен, тогда модуль и сама функция интегрируемы и справедлива теорема Фубини.

Опр.: Функция называется зарядом, если она обладает свойствами счетной аддитивности.

Теорема: Конечно аддитивная функция является зарядом, тогда, и только тогда, когда она непрерывна.

Замечание: Условие непрерывности заряда можно записать в терминах возрастающей последовательности Если , то .

Опр.: — положительная вариация заряда – конечная функция множества.

Теорема: Положительная вариация является счетно-аддитивной мерой.

Свойства: Заряд положительной вариации обладает свойством счетной полуаддитивности. Пусть .

Опр.: рассмотрим функция отрицательная вариация заряда, счетно-аддитивна и неотрицательна.

Разложение Жордана: .

Опр.: Пусть , — множество положительности заряда , если .

Пусть , — множество отрицательности заряда , если .

Теорема: (Хана): Пусть имеется заряд , тогда существует 2 множества: — множество положительности и — множество отрицательности , т.ч. .

Лемма: (об исчерпывании): Пусть — множество.

1) Пусть , тогда существует подмножество т.ч. и множество положительности.

2) Пусть , тогда существует подмножество т.ч. и множество отрицательности.

Лемма:

1) Счетное объединение множеств положительности заряда является множеством положительности.

2) Счетное объединение множеств отрицательности заряда является множеством отрицательности.

Следствие: Пусть — разложение Хана, тогда и .

Опр.: имеется измеримое пространство с мерой , — -алгебра -измеримых множеств имеется заряд на и эквиваленты следующие утверждения:

1) абсолютно непрерывен относительно меры , если .

2) абсолютно непрерывен относительно меры , если из того, что .

Теорема: (Радона-Никодима): Пусть — измеримое пространство с мерой, — полная. Пусть заряд. (абсолютно непрерывен относительно меры ), тогда существует — измеримая и интегрируемая на , т.ч. и —производная Радона-Никодима.

Лемма: (2я лемма об исчерпывании): Пусть мера, и (не тривиальная мера), тогда существует мера , т.ч. .

Опр.: мера сингулярна мере (), если существует множество , для которого выполнено условие: и .

Теорема (о разложении): Пусть — измеримое пространство с мерой , мера на , тогда ее можно представить в виде: , где — дискретная мера, мера, абсолютно непрерывная относительно , — мера, сингулярная относительно .

Опр.: Пусть имеется измеримое пространство с полной мерой . Функция суммируема со степенью , если . Пространство суммируемых функций обозначим через .

Неравенство Гельдера: .

Неравенство Миньковского: .

Опр.: На пространстве определим функционал .

Свойства:

1) .

2) п.в.

3) .

5) полунорма, если всюда, то — норма.

Опр.: Пусть имеется абстрактное множество причем

3) ,

тогда называется метрикой, метрическим пространством.

Опр.: метрическое пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность имеет предел.

Теорема: (критерий полноты): Пусть метрическое пространство с метрикой

полное, тогда, и только тогда, когда для любой последовательности замкнутых, вложенных друг в друга шаров, радиус которых имеет непустое пересечение.

Опр.: Пространство называется пополнением пространства , если существует инъективное отображение обладающее свойствами:

1) сохраняет расстояние, т.е. .

2) Образ всюду плотен в .

Теорема: (о пополнении): Всякое метрическое пространство имеет пополнение.

Опр.: Пусть , называется выпуклым, если т.ч, и .

Опр.: Множество называется абсолютно выпуклым, если т.ч, и .

Опр.: Пусть имеется функционал вещественнен на (линейное пространство), он называется выпуклым функционалом, если выполнены условия:

Утверждение: Всякое абсолютно выпуклое множество является выпуклым.

Опр.: Функционал называется абсолютно выпуклым функционалом, если выполнены условия:

2) .

Опр.: Абсолютно-выпуклый функционал называется нормой, если .

Утверждение: Если — полунормы, то также полунорма.

Теорема: Пусть выпуклый неотрицательный функционал, тогда справедливы:

1) выпуклый и поглощающий

2) Если полунорма и , то абсолютно выпуклый.

4) полунорма, тогда .

Опр.: Пусть выпуклое, поглощающее множество в пространстве . Рассмотрим функционал . Назовем его функционалом Миньковского.

Свойства: (теорема Формула Миньковского):

2) — выпуклый функционал.

3) Если абсолютно выпуклый, то полунорма.

Опр.: имеется некоторое множество , которое частично упорядочено (обозначим ). Множество называется направлением, если , которое .

Опр.: Пусть направление, топологическое пространство. Рассмотрим семейство . Оно называется обобщенное последовательностью. называется пределом обобщенной последовательности , если для любого открытого множества существует , т.ч. при .