Примеры. Q – поле рациональных чисел

Q – поле рациональных чисел.

R – поле вещественных чисел.

C – поле комплексных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Def. Множество V называется линейным (векторным) пространством над числовым полем K, если на множестве V корректным образом заданы две операции: одна - внутренняя, в дальнейшем именуемая сложением и обозначаемая ⊕, другая – внешняя над полем K, в дальнейшем именуемая умножением на скаляр и обозначенная ⊙, удовлетворяющие аксиомам:

I. " x, y Î V $ z Î V | z = x ⊕ y:

1) x ⊕ y = y ⊕ x; 2) (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);

3) $qÎ V x ⊕ q = q ⊕ x = x; 4) " x Î V $ y Î V x ⊕ y = q.

Эти аксиомы определяют абелеву группу по сложению.

II. " x Î V "aÎK $ z Î V | z = a ⊙ x:

1) 1ÎK 1 ⊙ x = x;2)" x Î V "a, bÎK a ⊙ (b ⊙ x) = (a ⊙ b) ⊙ x.

III. Эти операции связаны соотношениями:

1) "a, bÎK " x Î V (a + b) ⊙ x = a ⊙ x ⊕ b ⊙ x;

2) "aÎK " x, y Î V a ⊙ (x ⊙ y) = a ⊙ x ⊕ a ⊙ y.

Линейное пространство, заданное над полем вещественных чисел, называется вещественным линейным пространством, а над полем комплексных чисел называется комплексным линейным пространством.

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.