Примеры линейных пространств

1. Множество многочленов P_n (x) степени не выше n.

2. Множество n -членных последовательностей (с почленным сложением и умножением на скаляр).

3. Множество функций C _{[ а, b ]}непрерывных на [ а, b ] и с поточечным сложением и умножением на скаляр.

4. Множество функций, заданных на [ а, b ] и обращающихся в 0 в некоторой фиксированной внутренней точке c: f (c) = 0 и с поточечными операциями сложения и умножения на скаляр.

5. Множество R⁺, если x ⊕ y º x ´ y, a⊙ x º x ^a.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Пусть множество W является подмножеством линейного пространства V (W Ì V) и такое, что

а) " x, y Î W Þ x ⊕ y Î W;

б) " x Î W, "aÎK Þ a ⊙ x Î W.

Операции сложения и умножения здесь те же, что и в пространстве V (они называются индуцированными пространством V).

Такое множество W называется подпространством пространства V.

7°. Подпространство W само является пространством.

◀ Для доказательства достаточно доказать существование нейтрального элемента и противоположного. Равенства 0⊙ x = q и (–1)⊙ х = – х доказывают необходимое. ▶

Подпространство, состоящее только из нейтрального элемента {q}и подпространство, совпадающее с самим пространством V, называются тривиальными подпространствами пространства V.

§ 9. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ.