Исследование чувствительности к изменениям коэффициентов матрицы системы ограничений

Анализ чувствительности решения к изменениям коэффициентов матрицы системы сводится к отысканию допустимых пределов изменения коэффициентов a_ij (i = 1,m; j = 1,n) при сохранении оптимальности найденного решения.

Как уже было сказано выше, при геометрической интерпретации решения задачи ЛП уравнение вида x_j =a_j1x₁+a_j2x₂+b _j задает прямую на плоскости, представляющую собой некоторую границу ОДР. Соотношение коэффициентов при неизвестных, т. е. a_j1 , a_j2, определяет наклон этой прямой. Тогда для исследования чувствительности решения к изменениям коэффициентов ограничений необходимо графически определить пределы поворота (наклона) соответствующей границы ОДР. Границы ОДР, примыкающие к оптимальной вершине, не рассматриваются, потому что изменение их положения повлияет на оптимальное решение.

Для задачи, область допустимых решений которой изображена на рис. 6, оптимальное решение будет находиться в вершине В. Можно исследовать возможность поворота только границы CD. Причем CD не должна перекрывать оптимальную вершину, чтобы полученное решение оставалось неизменным.

Пределы изменения коэффициентов целесообразно исследовать поочередно. Для этого поворот прямой нужно выполнять относительно точек ее пересечения с осями координат.

В данном случае для исследования одного коэффициента необходимо осуществить предельный поворот относительно точки D. При наклоне CD влево предельное (например, минимальное) значение коэффициента будет достигнуто, когда точка С максимально приблизится к оптимальной вершине. Наклон в противоположную сторону возможен до пересечения точки С с осью абсцисс, где определится максимальное значение данного коэффициента.

При исследовании другого коэффициента поворот нужно производить относительно точки пересечения CD с осью ординат. Пределы наклона и соответствующие им значения коэффициента определяются точно так же, как описано выше.

Можно исследовать и одновременное изменение обоих коэффициентов при сохранении оптимальности полученного решения, например осуществляя предельные повороты относительно точки С.

Пример

Необходимо провести исследование на чувствительность решения к изменению коэффициентов матрицы системы для задачи со следующими условиями:

x₁, x₂ ³ 0,

F_MAX = 7x₁ + 6x₂.

На рис. 7 сплошными серыми линиями изображена ОДР данной задачи. Функционал достигает оптимального значения в точке С, являющейся одной из вершин ОДР. Найдем пределы изменения коэффициентов при переменных уравнения – x₁ + 4x₂ £ 22, соответствующего границе АВ.

Сначала рассмотрим поворот АВ относительно точки А. Так как данная точка расположена на оси ординат, то при изменении наклона АВ будет варьироваться только значение коэффициента a₁₁ при неизвестной x₁. При повороте АВ против часовой стрелки абсолютная величина a₁₁ возрастает и в предельном случае достигает значения a₁₁ = 229.16. В результате чего форма ОДР соответствующим образом изменяется – со стороны прямой АВ новая ОДР будет ограничена штриховыми черными линиями (рис. 7.). Таким же образом при повороте АВ по часовой стрелке получим a₁₁ = -0.85, а прямая АВ займет новое положение, обозначенное на рис. 7 черной сплошной линией.

Поворот границы АВ относительно точки В приведет к одновременному изменению обоих коэффициентов a₁₁ и a₁₂ (рис. 8). Аналогично приведенному выше будем иметь:

- поворот против часовой стрелки: a₁₁ = -91.85, a₁₂ = 117.56; новая ОДР со стороны АВ ограничена черной сплошной линией;

- поворот по часовой стрелке: a₁₁ = -0.85, a₁₂ = 2.81; ОДР со стороны АВ ограничена штриховыми черными линиями.