Случайные процессы и функции

Случайный процесс Х(t) представляет собой функцию, которая отличается тем, что ее значения в любые произвольные моменты времени по координате t являются случайными. Строго с теоретических позиций, случайный процесс X(t) следует рассматривать как совокупность множества реализаций функций x_k(t), имеющих общую статистическую закономерность. При регистрации случайного процесса на определенном временном интервале осуществляется фиксирование единичной реализации x_k(t) из бесчисленного числа возможных реализаций процесса X(t). Эта единичная реализация называется выборочной функцией случайного процесса X(t). Примеры выборочных функций модельного случайного процесса X(t) приведены на рис. 131. В дальнейшем без дополнительных пояснений при рассмотрении различных параметров и характеристик случайных процессов для сопровождающих примеров будем использовать данную модель процесса.

Рис. 13.1. Выборочные функции случайного процесса.

С практической точки зрения выборочная функция является результатом отдельного эксперимента, после которого данную реализацию x_k(t) можно считать детерминированной функцией. Сам случайный процесс в целом должен анализироваться с позиции бесконечной совокупности таких реализаций, образующих статистический ансамбль. В каждый выбранный момент времени t₁ конкретная реализация процесса представляет собой случайную величину х₁ с определенной плотностью вероятности p(x₁, t₁), а ее среднее значение определяется усреднением по всем возможным реализациям в этот момент времени t₁. Полной статистической характеристикой такой системы является N-мерная плотность вероятностей р(x_n; t_n). Однако, как экспериментальное определение N-мерных плотностей вероятностей процессов, так и их использование в математическом анализе представляет значительные математические трудности. Поэтому на практике обычно ограничиваются одно- и двумерной плотностью вероятностей процессов.

Рис. 13.2. Сечения случайного процесса X(t).

Функциональные характеристики случайных сигналов. Допустим, что случайный процесс X(t) задан ансамблем реализаций {x₁(t), x₂(t), …, x_k(t), …}. В произвольный момент времени t₁ зафиксируем значения всех реализаций {x₁(t₁), x₂(t₁), …, x_k(t₁), …}. Совокупность этих значений представляет собой случайную величину X(t₁) и является одномерным сечением случайного процесса X(t). Примеры сечений по 100 выборкам случайного процесса X(t) (рис. 9.1.1) в точках t₁=30 и t₂=65 приведены на рис. 13.2.

Одномерная функция распределения вероятностей (x, t_n) определяет вероятность того, что в момент времени t_n значение случайной величины X(t_n) не превысит значения x:

F(x, t_n) = P{X(t_n) ≤ x}.

Очевидно, что в диапазоне значений вероятностей от 0 до 1 функция F(x, t) является неубывающей с предельными значениями F(-¥, t) = 0 и F(¥, t) = 1. При известной функции F(x, t) вероятность того, что значение X(t_n) в выборках будет попадать в определенный интервал значений [a, b] будет определяться выражением:

P{a < X(t_n) ≤ b} = F(b, t_n) – F(a, t_n).

Одномерная плотность вероятностей p(x, t) случайного процесса Х(t) характеризует распределение вероятностей реализации случайной величины Х(t_n) в произвольный момент времени t_n. Она представляет собой производную от функции распределения вероятностей:

p(x, t_n) = dF(x, t_n)/dx.

Моменты времени t_n являются сечениями случайного процесса X(t) по пространству возможных состояний, и плотность вероятностей p(x, t_n) представляет собой плотность вероятностей случайных величин X(t_n) данных сечений. Произведение p(x, t_n)·dx равно вероятности реализации случайной величины X(t_n) в бесконечно малом интервале dx в окрестности значения x, откуда следует, что плотность вероятностей также является неотрицательной величиной.

Рис. 13.3. Распределение вероятностей и плотность вероятностей сечения случайного процесса

На рис. 13.3 приведены примеры распределения вероятностей и плотности вероятностей сечения случайного процесса X(t) (рис. 13.1) в точке t₁. Функции вероятностей определены по N = 1000 выборок дискретной модели случайного процесса, и сопоставлены с теоретическими распределениями при N ® ¥.

При известной функции плотности вероятностей вероятность реализации значения X(t_n) в произвольном интервале значений [a, b] вычисляется по формуле:

P(a < X(t_n) ≤ b) = p(x, t_n) dx.

Функция плотности вероятностей должна быть нормирована к 1, т.к. случайная величина обязана принимать какое-либо значение из числа возможных, образующих полное пространство случайных величин:

p(x, t_n) dx = 1.

По известной плотности распределения вычисляется и функция распределения вероятностей:

F(x, t_n) = p(x, t_n) dx.

Моменты распределения случайных сигналов позволяют охарактеризовать случайные процессы устойчивыми и неслучайными интегральными оценками.

Математическое ожидание (mean value), или первый момент распределения, представляет собой статистическое усреднение случайной величины X(t_n) - усреднение по ансамблю реализаций в каком-либо фиксированном сечении t_n случайного процесса. Соответственно, функция математического ожидания определяет зависимость среднего взвешенного значения случайного процесса от независимой переменной (времени):

m_x(t) º M{Х(t)}º = x p(x; t) dx. (13.1)

Математическое ожидание m_x(t) представляет собой неслучайную составляющую случайного процесса X(t). На рис. 9.1.1. и 9.1.2 неслучайные составляющие m(t) модели случайного процесса X(t) выделены пунктиром и соответствуют выборкам при N ® ¥.

Средний квадрат случайного процесса (функция второго момента) – зависимость среднего взвешенного значения (математического ожидания) квадрата значений случайного процесса от независимой переменной, т.е. мощность процесса:

M{Х²(t)}º = x² p(x; t) dx.

Функция дисперсии (variance) – второго центрального момента случайного процесса, определяет функцию среднего взвешенного значения (математического ожидания) квадрата разности Х(t)-m_x(t), которая называется флюктуационной частью процесса:

D_x(t) = M{[Х(t)-m_x(t)]²} = [x(t)-m_x(t)]² p(x; t) dx. (

Функция среднего квадратического отклонения (standard deviation) служит амплитудной мерой разброса (флюктуаций) значений случайного процесса по временной оси относительно математического ожидания процесса:

s_x(t) = . (13.3)

Рис. 13.4.

Учитывая последнее выражение, дисперсия случайной величины обычно обозначается индексом s_x².

На рис. 13.4 приведен пример флюктуационной составляющей процесса X(t) (рис. 13.1) в одной из реализаций в сопоставлении со средним квадратическим отклонением ±s случайных величин от математического ожидания m(t).

Вид функций плотности вероятностей в сечениях случайных процессов p(x; t_n), а также по всем сечениям стационарных случайных процессов р(х), зависит от физической природы случайных сигналов, но чаще всего соответствует нормальному (гауссову) распределению:

p(x) = .

Это определяется тем, что в соответствии с " центральной предельной теоремой " распределение вероятностей для сумм независимых случайных величин, при которых нет доминирующих, стремится к нормальному закону по мере роста числа слагаемых, и не зависит от законов распределения слагаемых. Между тем физические случайные процессы обычно являются многопараметровыми, при этом случайность значений параметров, как правило, обусловлена их природой и также соответствует нормальным распределениям.

Двумерная плотность вероятностей. Одномерные законы плотности распределения вероятностей случайных процессов не несут каких-либо характеристик связи между значениями случайных величин для различных значений аргументов.

Двумерная плотность вероятностей p(x₁,x₂; t₁,t₂) определяет вероятность совместной реализации значений случайных величин Х(t₁) и Х(t₂) в произвольные моменты времени t₁ и t₂ и в какой-то мере уже позволяет оценивать динамику развития процесса. Двумерная плотность вероятностей описывает двумерную случайную величину {X(t_n), X(t_m)} в виде функции вероятности реализации случайной величины X(t_n) в бесконечно малом интервале dx_n в окрестностях x_n в момент времени t_n при условии, что в момент времени t_m значение X(t_m) будет реализовано в бесконечно малом интервале dx_m в окрестностях x_m:

p(x_n,x_m; t_n,t_m) dx_n dx_m = P{|X(t_n)-x_n|≤dx_n/2, |X(t_m)-x_m|≤dx_m/2}.

При двумерной плотности вероятности имеем:

m_x(t) º = x₁(t₁) p(x₁,t₁; x₂,t₂) dx₁ dx₂. (13.1")

D_x(t) = s_x²(t)= [x₁(t₁)- ]² p(x₁,t₁; x₂,t₂) dx₁ dx₂. (13.2")

Корреляционные функции случайных процессов. Характеристикой динамики изменения двумерной случайной величины {X(t_n), X(t_m)} является корреляционная функция, которая описывает случайный процесс в целом:

R_X(t_n, t_m) = M{X(t_n) X(t_m)}.

Корреляционная функция представляет собой статистически усредненное произведение значений случайного процесса X(t) в моменты времени t_n и t_m по всем значениям аргументов t_n и t_m, а, следовательно, тоже является двумерной функцией. В терминах теории вероятностей корреляционная функция является вторым начальным моментом случайного процесса.

На рис. 13.5 приведены примеры реализаций двух случайных процессов, которые характеризуются одной и той же функцией математического ожидания и дисперсии.

Рис. 13.5.

На рисунке видно, что хотя пространство состояний обоих процессов практически одно и то же, динамика развития процессов в реализациях существенно различается. Единичные реализации коррелированных процессов в произвольный момент времени могут быть такими же случайными, как и некоррелированных, а в пределе, во всех сечениях оба процесса могут иметь один и тот же закон распределения случайных величин. Однако динамика развития по координате t (или любой другой независимой переменной) единичной реализации коррелированного процесса по сравнению с некоррелированным является более плавной, а, следовательно, в коррелированном процессе имеется определенная связь между последовательными значениями случайных величин. Оценка степени статистической зависимости мгновенных значений какого-либо процесса Х(t) в произвольные моменты времени t_n и t_m и производится функцией корреляции. По всему пространству значений случайного процесса X(t) корреляционная функция определяется выражением:

R_X(t_n, t_m) = x(t_n)x(t_m) p(x_n,t_m; x_n,t_m) dx_n dx_m, (9.1.4)

Рис. 13.6. Двумерная плотность вероятностей и корреляционная функция процесса X(t).

На рис. 13.6 приведена форма модельного случайного процесса X(t) в одной выборке со значительной и изменяющейся неслучайной составляющей. Модель задана на интервале 0-Т (Т=100) в дискретной форме с шагом Dt=1. Корреляционная функция вычислена по заданной плотности вероятностей модели.

При анализе случайных процессов второй момент времени t_m удобно задавать величиной сдвига t относительно первого момента, который при этом может быть задан в виде координатной переменной:

R_Х(t, t+t) = M{Х(t)Х(t+t)}. (13.4')

Функция, задаваемая этим выражением, обычно называется функцией автокорреляции случайного процесса.

Ковариационные функции. Частным случаем корреляционной функции является функция автоковариации (ФАК), которая широко используется при анализе сигналов. Она представляет собой статистически усредненное произведение значений центрированной случайной функции X(t)-m_x(t) в моменты времени t_n и t_m и характеризует флюктуационную составляющую процесса:

К_Х(t_n,t_m) = (x(t_n)-m_x(t_n)) (x(t_m)-m_x(t_m)) p(x_n,t_n; x_m,t_m) dx_n dx_m, (13.5)

В терминах теории вероятностей ковариационная функция является вторым центральным моментом случайного процесса. Для центрированных случайных процессов ФАК тождественна функции корреляции. При произвольных значениях m_x ковариационные и корреляционные функции связаны соотношением:

K_X(t, t+t) = R_X(t, t+t) - m_x²(t).

Нормированная функция автоковариации (функция корреляционных коэффициентов):

r_Х(t, t+t) = К_Х(t, t+t)/[s(t)s(t+t)]. (9.1.6)

При t= 0 значение r_Х равно 1, а ФАК вырождается в дисперсию случайного процесса:

К_Х(t) = D_Х(t) = s_x²(t).

Отсюда следует, что для случайных процессов и функций основными характеристиками являются функции математического ожидания и корреляции (ковариации). Особой необходимости в отдельной функции дисперсии не имеется.

Примеры реализаций двух различных случайных процессов и их нормированных ковариационных функций приведены на рис. 13.7.

Рис. 13.7. Реализации и ковариационные функции случайных процессов.