Введение. Signals and linear systems

СИГНАЛЫ и ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ.

Signals and linear systems

Тема 4. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

Я согласен, что все состоит из атомов. Но какое нам до этого дело? Ведь мы занимаемся вопросом о природе богов!

Марк Туллий Цицерон. О природе богов. Римский философ и политик, 1 в.д.н.э.

Природа экономна. Если и богов она стряпает из атомов, то каждым сигналом в отдельности тем более заниматься не будет. А значит, они тоже из чего-то состоят!

Владимир Петухов. Взгляд с горы. Осетинский геофизик Уральской школы, XX в.

Содержание

1. Разложение сигналов по гармоническим функциям. Понятие собственных функций. Ряды Фурье. Тригонометрическая форма. Параметры эффекта Гиббса.

2. Непрерывные преобразования Фурье и Лапласа. Интеграл Фурье. Тригонометрическая форма. Полезные соотношения. Преобразование Лапласа. Обобщенный ряд Фурье.

3. Основные свойства преобразований Фурье. Линейность. Свойства симметрии. Изменение аргумента функции. Теорема запаздывания. Преобразование производной. Преобразование интеграла. Преобразование свертки. Преобразование произведения. Производная свертки Спектры мощности. Равенство Парсеваля.

4. Спектры некоторых сигналов. Единичные импульсы. Гребневая функция. Спектр прямоугольного импульса. Треугольные импульсы. Экспоненциальный импульс. Функции Лапласа и Гаусса. Гармонические колебания. Радиоимпульс.

Введение.

Спектральная (частотная) форма представления сигналов использует разложение сигнальных функций на периодические составляющие.

Периодичность гармонических колебаний исследовал еще в VI веке до нашей эры Пифагор и даже распространил ее на описание гармонического движения небесных тел. Термин "spectrum" впервые применил И. Ньютон в 1571 году при описании разложения на многоцветную полосу солнечного света, проходящего через стеклянную призму, и дал первую математическую трактовку периодичности волновых движений. В 18-м веке Д. Бернулли, Л. Эйлер и Ж. Лагранж в своих работах по математике и физике показали, что произвольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций – синусов и косинусов кратных частот. Эти суммы получили название рядов Фурье, после того как в 1807 году французский инженер Жан Батист Фурье обосновал метод вычисления коэффициентов тригонометрического ряда, которым можно отображать с абсолютной точностью (при бесконечном числе членов ряда) или аппроксимировать с заданной точностью (при ограничении числа членов ряда) любую периодическую функцию, определенную на интервале одного периода T = b-a, и удовлетворяющую условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода). Разложение сигнала на гармонические функции получило название прямого преобразования Фурье (Fourier transform). Обратный процесс – синтез сигнала по гармоникам – называется обратным преобразованием Фурье (inverse Fourier transform).