Непрерывное преобразование Фурье

Спектральный анализ сигналов

Спектральное представление сигналов основано на разложении функций в ряд.

		t

T

Рис.1. Непрерывная периодически повторяющаяся функция (сигнал) U(t).

(1)

Периодически повторяющаяся функция U(t) (далее - сигнал) любой формы с периодом повторения T на бесконечном интервале времени может быть представлена бесконечной суммой элементарных тригонометрических функций с надлежащим образом подобранными параметрами: амплитудой A _k и начальной фазой φ _k:

или в форме:

Преобразование выражения (1) в форму (2) основано на представлении гармонического колебания в виде двух квадратурных составляющих: косинусной и синусной с нулевыми начальными фазами.

Это разложение (1) или (2) периодической функции (сигнала) в бесконечный ряд тригонометрических функций называется рядом Фурье, а функции ряда называются гармониками.

Частоты гармоник кратны основной частоте ω ₁:

- круговая частота (рад/сек)

- циклическая частота (герц)

Коэффициенты (амплитуды гармоник) ряда (2) могут быть вычислены:

		(3)

Амплитуды A _k и фаза φ _k гармоники ряда (1) связаны с коэффициентами a_k и b_k ряда (2) связаны соотношениями:

Ряд Фурье обычно принято представлять в комплексной форме.

Для преобразования выражения (2) в комплексную форму следует воспользоваться формулами Эйлера (представление тригонометрических функций экспоненциальными):

Тогда разложение U(t) в ряд может быть представлено:

или в форме:

	(4)

Обозначим коэффициенты ряда (4)

С учетом соотношений (3) коэффициенты C_k и C_-k вычисляются:

	(5)

Так как cos(α) ± jsin(α) = e^±jα

то соотношения (5) в комплексной форме будут иметь вид

Легко заметить, что значения C _-k отличаются от C _k лишь знаком показателя экспоненты.

Если ввести отрицательные значения k и учесть, что

то разложение в ряд U(t) (4) можно представить в следующей форме:

И окончательно запишем формулы преобразования Фурье для периодически повторяющихся сигналов с периодом повторения T:

	(6)

- прямое преобразование Фурье

	(7)

- обратное преобразование Фурье

где С_k комплексные гармоники – спектр периодически повторяющегося сигнала.

Еще раз обратим внимание на свойства спектра периодически повторяющегося сигнала на бесконечном интервале времени:

- спектр является дискретным;

- гармоники спектра кратны основной частоте f = 1/T (ω = 2π/T);

- число гармоник бесконечно;

- математически спектр содержит как реальные – положительные по частоте гармоники, так и отрицательные гармоники (k – отрицательные значения).

Спектр (а точнее спектральная плотность) не периодического, одиночного, сигнала может быть получен путем предельного перехода при

- интервал между соседними гармониками

ω - непрерывная частота

- спектральная плотность

(8)

и преобразование Фурье для одиночного сигнала выполняется по формулам:

(9)

Огибающая дискретного спектра периодического сигнала полностью совпадает со спектральной плотностью одиночного сигнала. Поэтому для получения спектра периодического сигнала с периодом T достаточно по (8) вычислить спектральную плотность для одиночного сигнала и взять дискретные его значения через f = 1/T.

Пример:

Спектральная плотность прямоугольного импульса длительностью τ и амплитудой U_m

Пределы

интегрирования

После подстановки пределов интегрирования и с учетом формул Эйлера получим

Рис.2. Модуль функции sin(x)/x (амплитудный спектр прямоугольного импульса)

Как следует из приведенного графика, функция sin(x)/x имеет лепестковый характер и принимает значения, равные 0 при x = 2nπ n = 1, 2, 3…

или для спектра при значениях частоты f = 1/τ, 2/τ, 3/τ…

Уровень лепестков относительно главного составляет:

- первый - 0.217

- второй - 0.13

- третий - 0.09

- четвертый – 0.07

т.е., хотя в главном лепестке спектра и сосредоточена основная мощность прямоугольного импульса (более 90%), все же спектр (спектральная плотность) его достаточно медленно убывает с частотой.