СМО M/M/n/0

Рассмотрим элементарный случай, когда входящий поток – простейший, продолжительность обслуживания экспоненциальная, места для ожидания в очереди отсутствуют. Анализ может быть проведен с использованием теории Марковских процессов.

Введем множество возможных состояний системы:

все каналы системы свободны;

один канал занят, остальные свободны;

^{……………………………………………………………………………}

все n каналов системы заняты.

Будем считать, что интенсивность входящего потока заявок равна , а закон распределения продолжительности обслуживания имеет вид , где интенсивность обслуживания выражает количественно среднее число заявок, которое каждый канал системы в состоянии обслужить

, среднее время обслуживания.

Нарисуем граф переходов системы

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний имеет вид:

Систему уравнений необходимо дополнить условием нормировки . Для решения системы используют преобразование Лапласа. При этом получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

Решив эту систему уравнений и выполнив обратное преобразование Лапласа, получим соотношение для . Для оценки эффективности СМО интерес представляет асимптотическое поведение систему при . В этом случае процесс в системе приобретает установившийся характер и поэтому . Тогда уравнения системы упрощаются к виду:

Введем переменную . Тогда

Откуда легко видеть, что Поэтому

.

Тогда

Таким образом, вероятности всех состояний выражены через . Для расчета используем условие нормировки.

Введем параметр , который называется приведенной интенсивностью входного потока. Тогда

Эти соотношения называются формулами Эрланга. С использованием этих формул легко рассчитать вероятность отказа системы

Можно найти относительную пропускную способность – вероятность того, что заявка будет обслужена

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на : .

Среднее число занятых каналов можно найти, как математическое ожидание дискретной случайной величины с возможными значениями 0,1,…,n и вероятностями этих значений

Введем . Тогда

С другой стороны, среднее число занятых каналов можно найти по другому. Абсолютная пропускная способность - это интенсивность потока обслуженных системой заявок. Каждый занятый канал в единицу времени обслуживает в среднем заявок. Значит среднее число занятых каналов равно:

.