Анализ многофазных СМО

Процесс функционирования таких СМО протекает следующим образом: заявка в ходе обслуживания проходит последовательно несколько фаз обслуживания, выполняемых различными аппаратами.

Рассмотрим 2-фазную СМО, функционирование которой организовано следующим образом:

Заявка поступает на вход первой фазы, представляющей собой одноканальную СМО с ожиданием и ограничением по длине очереди. Если канал свободен, начинается обслуживание, в противном случае заявка становится в очередь, если она не превышает предельно допустимую, и ждет начала обслуживания случайное время , распределенное в соответствии с

где среднее число заявок, покидающих очередь в единицу времени, причем ;

среднее значение продолжительности ожидания начала обслуживания.

Обслуженная первой фазой заявка поступает во вторую фазу, представляющую собой канальную СМО без потерь. Будем считать, кроме того, что в системе действует эффект «блокировки», проявляющийся в том, что первая фаза не принимает заявок на обслуживание, даже если ее канал свободен, когда заняты все каналы второй фазы. Пусть на вход СМО поступает простейший поток с интенсивностью , а интенсивности обслуживания для первой и второй фаз соответственно равны и .

Введем множество возможных состояний системы. Каждому состоянию системы поставим в соответствие пару чисел , где количество заявок, связанных с первой фазой системы (оно равно сумме числа обслуживаемых и находящихся в очереди заявок), число заявок, обслуживаемых второй фазой.

Изобразим граф состояний и переходов системы для случая, когда , а максимальная длина очереди (рис). Эффект «блокировки» сказывается здесь следующим образом: если (оба канала второй фазы заняты), то все заявки, связанные с первой фазой, находятся в очереди.

Действуя в соответствии с общей методикой, запишем систему уравнений относительно финальных вероятностей системы.

Решение системы дает искомый набор вероятностей С использованием этого набора определим некоторые показатели эффективности системы. Для оценки пропускной способности системы рассчитаем среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, равное

,

где среднее число занятых обслуживанием каналов второй фазы.

.

Тогда средняя доля обслуженных заявок определяется отношением .

Вероятность блокировки

.

Ясно, что в рамках Марковских моделей аналогичным образом может быть проведен анализ и более сложных многофазных систем.