2015-05-06
875
| Тип развития | Характеристика | Адекватная функция | Примечания |
| Равномерное развитие | Постоянные абсолютные приросты: Δуц ≈ const | Линейная
(полином 1-й степени):
где a0, a1– параметры уравнения,
t – показатель времени
| Параметр a1 – коэффициент регрессии, определяющий направление развития. Если a1> 0, то уровни ряда динамики равномерно возрастают, если a1<0 – равномерно снижаются. |
| Равноускоренное (равнозамедленное) развитие | Постоянные темпы прироста: ТΔц ≈ const | Парабола второго порядка
(полином 2-й степени):
| Параметр a2 характеризует постоянное изменение интенсивности развития (в единицу времени). При a2> 0 происходит ускорение развития, при a2<0 – замедление роста. |
| Развитие по экспоненте | Постоянные темпы роста: Тц ≈ const | Показательная функция:
| a1 – темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, т.е. интенсивность развития |
| Развитие с замедлением роста в конце периода | Показатель цепного абсолютного прироста сокращается в конечных уровнях ряда динамики: Δуц → 0 | Полулогарифмическая функция:
| - |
После установления типа тренда необходимо вычислить оптимальные значения параметров тренда исходя из фактических уровней. Для этого используют метод наименьших квадратов (МНК), суть которого состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических уровней ряда от выровненных уровней (от тренда):
.
Для каждого типа тренда МНК дает систему нормальных уравнений, решив которую вычисляют параметры тренда.
1) Для линейного типа тренда нормальные уравнения МНК имеют вид:
,
где y – уровни исходного ряда динамики,
t – номера периодов или моментов времени,
n – число уровней ряда.
Для упрощения расчетов можно перенести начало отсчета времени t в середину ряда, тогда St = 0 и система нормальных уравнений примет вид:
,
отсюда 
, 
.
Параметры a0 и a1 можно исчислить иначе с помощью определителей:
; 
.
2) Для параболы 2-го порядка нормальные уравнения МНК имеют вид:
После переноса начала отсчета времени t в середину ряда St = 0 (а также суммы всех нечетных степеней t) и система будет иметь вид:
3) При сглаживании ряда динамики по экспоненте () для определения параметров применяется МНК к логарифмам исходных данных. Так, для нахождения параметров экспоненты необходимо решить следующую систему уравнений:
Если St = 0, то параметры уравнения lg a0 и lg a1 находим по формулам:
; 
.
4) Для нахождения параметров полулогарифмической функции () система уравнений МНК имеет вид:
Практика статистического изучения тренда социально-экономических явлений показывает, что иногда невозможно однозначно решить вопрос, какому типу развития больше всего отвечают показатели ряда динамики. Рассмотренные выше признаки классификации типов развития (по абсолютным приростам, темпам роста, темпам прироста) весьма схематичны. На практике ряды динамики с показателями, соответствующими признакам эталонных математических функций, скорее исключение, чем правило. Реальные условия формирования уровней развития социально-экономических явлений таковы, что совокупное действие факторов (постоянных, периодических, разовых) обусловливают такие изменения показателей ряда динамики, которые не согласуются с основными признаками типовых эталонных функций. Это осложняет выбор адекватной математической функции для аналитического выравнивания.
Так как на основе качественного анализа не всегда возможно получить надежные выводы о типе развития в виде адекватной математической функции, то может быть выдвинута гипотеза о возможных типах развития. Выбор наиболее адекватной трендовой модели производится с помощью показателя средней квадратической ошибки тренда:
,
где yti – теоретические уровни ряда, определенные по уравнению тренда,
yi – фактические уровни ряда динамики за соответствующие периоды времени,
n – число уровней ряда динамики.
Исследование динамики социально-экономических явлений, выявление и характеристика основной тенденции развития дают основание для прогнозирования – определения будущих размеров уровня экономического явления. Важное место в системе методов прогнозирования занимают статистические методы. Применение прогнозирования предполагает, что закономерность развития, действующая в прошлом (внутри ряда динамики), сохранится в прогнозируемом будущем, т.е. прогноз основан на экстраполяции. Экстраполяция, проводимая в будущее, называется перспективной, а в прошлое – ретроспективной (или интерполяция: определение недостающих уровней ряда).
Экстраполяцию в общем виде можно представить следующей формулой:
,
где уi+T – прогнозируемый уровень,
yi – текущий уровень прогнозируемого ряда,
Т – период упреждения,
aj – параметр уравнения тренда.
Чем короче срок экстраполяции (период упреждения), тем более надежные и точные результаты (при прочих равных условиях) дает прогноз.
