Для рассматриваемой механической системы

,

где и - количества движения вертикальной плиты и груза D соответственно ( - скорость тележки, -скорость груза по отношению к осям 0xy).

Для определения рассмотрим движение груза D как сложное, считая его движение по отношению к вертикальной плите 1 относительным, а движение самой вертикальной плиты 1 – переносным.

При t=0 , (4)

так как относительная скорость точки D равна нулю.

При t=1с , ,

(5)

Подставив (4) и (5) в (3) находим

. При t=1c, U₁=1,13 м/с.

Задача Д3

Механическая система состоит из грузов 1 и 2 (коэффициент трения грузов о плоскость f =0,1) и ступенчатых шкивов 3 и 4 с радиусами ступеней R ₃=0,3 м, r ₃=0,1 м, R ₄=0,2 м, r ₄=0,1 м (массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д3.0-Д3.9, табл. Д3). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.

Под действием постоянной силы F система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкивы 3 и 4 действуют постоянные моменты сил сопротивлений, равные соответственно М ₃ и М ₄. Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно s ₁. Искомая величина указана в столбце “Найти” таблицы, где обозначено: v ₁ – скорость груза 1, w ₃ - угловая скорость тела 3 и т.д.

Таблица Д3

Номер условия	m 1, кг	m 2, кг	m 3, кг	m 4, кг	M 3, Н×м	M 4, Н×м	F, H	s 1, м	Найти
					0,6 0,3 0,9 0,6 0,3	0,8 0,4 0,6 0,8 0,4		1,0 1,2 0,8 0,6 1,4 1,6 1,0 0,8 1,6 1,4	v1 w 4 v2 v2 w 4 v1 w 4 w 3 v1 v2

Указания. Задача Д3 – на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы. При решении задачи учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел: эту энергию нужно выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую в задаче надо определить. При определении работы все перемещения следует выразить через заданное перемещение s ₁, учтя, что зависимость между перемещениями здесь будет такой же, как между соответствующими скоростями. Когда по данным таблицы m ₂=0, груз 2 на чертеже не изображать; шкивы 3 и 4 всегда входят в систему.

Пример Д3. Механическая система состоит из грузов 1 массой 4 кг и 2 массой 6 кг (коэффициент трения грузов о плоскость f =0,1) и ступенчатого шкива 3 массой 8 кг с радиусами ступеней R ₃=0,3 м, r ₃=0,1 м, (массу шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу) (рис. Д2). Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкивы; участки нитей параллельны соответствующим плоскостям. Под действием постоянной силы F=50 Н система приходит в движение из состояния покоя. При движении системы на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивлений, равный М =0,6 НМ.

Определить значение искомой скорости первого груза в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы равно 1 м.

Рис. Д3

Решение. Применяем теорему об изменении кинетической энергии системы: для неизменяемой системы изменение кинетической энергии при ее некотором перемещении равно сумме работ внешних сил:

.

Кинетическая энергия системы в начальный момент времени Т₀=0, так как система находилась в покое.

Кинетическая энергия системы в конечный момент времени равна сумме кинетической энергии всех входящих в нее тел:

Т=Т₁+Т₂+Т₃,

где , -кинетическая энергия тел 1 и 2, совершающих поступательное движение,

- кинетическая энергия тела 3, совершающего вращательное движение.

Находим соотношение между скоростями:

Осевой момент инерции тела 3 находится так же, как и однородного кольца:

,

так как масса распределена по его внешнему ободу)

Подставляя эти значения в формулу кинетической энергии, получим:

Подставляя значения масс тела, получим:

Вычисляем сумму работ внешних сил:

A(F)=FS₁ =50 Дж – работа постоянной силы F,

А(Р₁)= m₁gh= m₁g S₁sina =28,3 Дж - работа силы тяжести тела 1,

(h- вертикальное перемещение тела 1),

A(M)=-Mj₃ =-MS₁/R₃ = - 2 ДЖ -работа вращающего момента,

(j₃ - угол поворота тела 3),

A(F_тр1)= -F_тр1S₁=-fN₁S₁=-fm₁gcosaS₁ = -2,83 Дж -работа силы трения, приложенной к телу 1, (N₁= m₁gcosa- нормальная реакция плоскости, на которой расположено тело 1),

A(F_тр2)= -F_тр2S₂=-fN₂S₂=-fm₂gS₁/3 = - 2 Дж- работа силы трения, приложенной к телу 2, (N₂ =m₂g - нормальная реакция плоскости, на которой расположено тело 1).

Работа остальных внешних сил - сил Р₂, Р₃, N₁, N₂ ,N₃ равна нулю, так как силы Р₂, N₁, N₂ перпендикулярны направлению перемещения, а силы Р₃ и N₃ приложены в неподвижной точке.

Подставляя значения определяем сумму работ внешних сил:

Дж.

Подставляя значения кинетической энергии и работы внешних сил в теорему об изменении кинетической энергии получим:

, откуда .