Вынужденные колебания. Явление биений и резонанс

Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными.

В этом случае внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения.

Периодическая внешняя сила может изменяться во времени по различным законам. Особый интерес представляет случай, когда внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону с частотой ω, воздействует на колебательную систему, способную совершать собственные колебания на некоторой частоте ω₀.

Если свободные колебания происходят на частоте ω₀, которая определяется параметрами системы, то установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы.

После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δ t для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.

В начальный момент в колебательной системе возбуждаются оба процесса – вынужденные колебания на частоте ω и свободные колебания на собственной частоте ω₀. Но свободные колебания затухают из-за неизбежного наличия сил трения. Поэтому через некоторое время в колебательной системе остаются только стационарные колебания на частоте ω внешней вынуждающей силы.

Рассмотрим в качестве примера вынужденные колебания тела на пружине (рис. 2.5.1). Внешняя сила приложена к свободному концу пружины. Она заставляет свободный (левый на рис. 2.5.1) конец пружины перемещаться по закону

y = y m cos ω t.

где y _m – амплитуда колебаний, ω – круговая частота.

Такой закон перемещения можно обеспечить с помощью шатунного механизма, преобразующего движение по окружности в поступательно-возвратное движение (рис. 2.5.1).

Рисунок 2.5.1. Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону y = y m cos ω t. l – длина недеформированной пружины, k – жесткость пружины

Если левый конец пружины смещен на расстояние y, а правый – на расстояние x от их первоначального положения, когда пружина была недеформирована, то удлинение пружины Δ l равно:

Δ l = x – y = x – y m cos ω t.

Второй закон Ньютона для тела массой m принимает вид:

ma = – k (x – y) = – kx + ky m cos ω t.

В этом уравнении сила, действующая на тело, представлена в виде двух слагаемых. Первое слагаемое в правой части – это упругая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия (x = 0). Второе слагаемое – внешнее периодическое воздействие на тело. Это слагаемое и называют вынуждающей силой.

Уравнению, выражающему второй закон Ньютона для тела на пружине при наличии внешнего периодического воздействия, можно придать строгую математическую форму, если учесть связь между ускорением тела и его координатой: Тогда уравнение вынужденных колебаний запишется в виде

(**)

где – собственная круговая частота свободных колебаний, ω – циклическая частота вынуждающей силы. В случае вынужденных колебаний груза на пружине (рис. 2.5.1) величина A определяется выражением:

Уравнение (**) не учитывает действия сил трения. В отличие от уравнения свободных колебаний (*) (см. §2.2) уравнение вынужденных колебаний (**) содержит две частоты – частоту ω₀ свободных колебаний и частоту ω вынуждающей силы.

Установившиеся вынужденные колебания груза на пружине происходят на частоте внешнего воздействия по закону

x (t) = x mcos (ω t + θ).

Амплитуда вынужденных колебаний x _m и начальная фаза θ зависят от соотношения частот ω₀ и ω и от амплитуды < m >m>y_m внешней силы.

На очень низких частотах, когда ω << ω₀, движение тела массой m, прикрепленного к правому концу пружины, повторяет движение левого конца пружины. При этом x (t) = y (t), и пружина остается практически недеформированной. Внешняя сила приложенная к левому концу пружины, работы не совершает, т. к. модуль этой силы при ω << ω₀ стремится к нулю.

Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω₀, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. Зависимость амплитуды x _m вынужденных колебаний от частоты ωвынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой (рис. 2.5.2). При резонансе амплитуда x _m колебания груза может во много раз превосходить амплитуду y _m колебаний свободного (левого) конца пружины, вызванного внешним воздействием. В отсутствие трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе должна неограниченно возрастать. В реальных условиях амплитуда установившихся вынужденных колебаний определяется условием: работа внешней силы в течение периода колебаний должна равняться потерям механической энергии за то же время из-за трения. Чем меньше трение (т. е. чем выше добротность Q колебательной системы), тем больше амплитуда вынужденных колебаний при резонансе.

28. Влияние сопротивления на вынужденные колебания

Влияние сопротивления навынужденные колебания материальной точки выражается в сдвиге фазы колебаний относительно фазы возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебаний по мере увеличения сопротивления.

Рассмотрим общий случай вынужденных колебаний .

Общее решение этого уравнения складывается из общего решения однородного уравнения, которое в случае малого сопротивления имеет вид: (собственные колебания) и частного решения ( вынужденные колебания ).

Амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят от начальных условий и определяются выражениями: , .

С течением времени собственные колебания затухают, и движение материальной точки подчиняется не зависящему от начальных условий закону вынужденных колебаний. Влияние сопротивления среды и частоты возмущающей силы качественным образом сказывается на изменении амплитуды и частоты вынужденных колебаний.

Проиллюстрируем это влияние на примере построения, так называемой амплитудно-частотной характеристики.

Введем отношение круговой частоты вынужденных колебаний материальной точки к круговой частоте ее собственных колебаний − коэффициент расстройки.

Рассмотрим статическое отклонение материальной точки от положения равновесия под действием постоянной силы, равной амплитуде возмущающей силы.

Тогда из условия равновесия .

Введем в рассмотрение коэффициент динамичности, который характеризует динамический эффект от действия возмущающей силы и равен отношению амплитуды вынужденных колебаний к статическому смещению точки от постоянной силы, равной по величине амплитуде возмущающей силы. С учетом сделанных обозначений для коэффициента динамичности имеем .

Зависимость коэффициента динамичности от коэффициента расстройки дается графиком (рис. 13.9), который позволяет оценить влияние частоты возмущающей силы и сопротивления среды на изменение амплитуды вынужденных колебаний с помощью соотношения .

Из графика видно, что при и амплитуда вынужденных колебаний мало зависит от сопротивления среды. При влияние сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний становится существенным. При достаточно большом сопротивлении явление резонанса не наблюдается во всем диапазоне изменения частоты возмущающей силы. Этот эффект используется при создании технических устройств, призванных гасить вредные колебания в механических системах.