Теорема об изменении количества движения системы
Понятие импульса силы позволяет сформулировать теорему об изменении количества движения системы для произвольных систем:
где — начальный, а — конечный импульс изолированной системы, взаимодействующей с другими системами лишь посредством сил. Фактически, в этой формулировке закон сохранения импульса эквивалентен второму закону Ньютона и является его интегралом по времени, так как
2.
3.
.
Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки
Рассмотрим материальную точку M массой m, движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O:
Рисунок 3.1
Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:
Так как dr / dt = V, то векторное произведение V ⊗ m⋅V (коллинеарных векторов V и m⋅V) равно нулю. В то же время d(m⋅V) / dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что
dk 0/ dt = r ⊗ F, (3.3)
где r ⊗ F = M 0 (F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O. Вектор k 0 ⊥ плоскости (r, m ⊗ V), а вектор M 0 (F) ⊥ плоскости (r, F), окончательно имеем
dk 0/ dt = M 0 (F). (3.4)
Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем
dkx / dt = Mx (F); dky / dt = My (F); dkz / dt = Mz (F). (3.5)
Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.
Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).
Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const,
т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).
Рисунок 3.2
Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.
Следствие 2. Пусть Mz (F) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), kz = const,
т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.
4.