Момент импульса. Момент силы. Закон сохранения момента импульса. Изменение импульса

Моме?нт и?мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Момент импульса материальной точки относительно точки O определяется векторным произведением
, где — радиус-вектор, проведенный из точки O, — импульс материальной точки.
Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси равен проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки O данной оси. Значение момента импульса не зависит от положения точки O на оси z.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц, из которых состоит тело относительно оси. Учитывая, что , получим
.

Если сумма моментов сил, действующих на тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, равна нулю, то момент импульса сохраняется ( закон сохранения момента импульса):
.

Производная момента импульса твердого тела по времени равна сумме моментов всех сил, действующих на тело:
.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени.
Это один из фундаментальных законов природы.

Аналогично для замкнутой системы тел, вращающихся вокруг оси z:

отсюда или .

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения.
Момент импульса и для незамкнутых систем постоянен, если результирующий момент внешних сил, приложенных к системе, равен нулю.

Закон сохранения момента импульса вытекает из основного уравнения динамики вращательного движения тела, закрепленного в неподвижной точке (уравнение 4.8), и состоит в следующем:

- если результирующий момент внешних сил относительно неподвижной точки тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой точки с течением времени не изменяется.

Действительно, если M = 0, то dL / dt = 0, откуда

(4.14)

Другими словами, момент импульса замкнутой системы с течением времени не изменяется.
Из основного закона динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (уравнение 4.13), следует закон сохранения момента импульса тела относительно оси:

- если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тела тождественно равен нулю, то момент импульса тела относительно этой оси не изменяется в процессе движения, т.е. если M_z = 0, то dL_z / dt = 0, откуда

(4.15)

Закон сохранения момента импульса является фундаментальным законом природы. Справедливость этого закона обусловливается свойством симметрии пространства – его изотропностью, т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы.

Умножая уравнение (1.7) слева векторно на радиус-вектор , Получаем

(1.8)

Где вектор называется Моментом импульса материальной точки, а вектор — Моментом силы. Изменение момента импульса материальной точки вызывается моментом действующей на нее силы.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют Систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

(1.14),

Величина (1.15)

Называется Импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил.

В результате получим:

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют Изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

Аналогичным образом для каждой материальной точки запи­сываются уравнения (1.8) моментов импульсов

(1.17)

При суммировании уравнений (1.17) по всем материальным точ­кам системы материальных точек сумма моментов внутренних сил обращается в нуль и получается Закон изменения момента импуль­са системы материальных точек:

(1.18)

Где введены обозначения: — момент импульса системы мате­риальных точек, — момент внешних сил. Изменение момен­та импульса системы материальных точек вызывается внешними силами, действующими на систему. Для замкнутой системы мате­риальных точек момент импульса сохраняется

.

Вектор, равный векторному произведению радиус-вектора на силу,
называется моментом силы.