Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.

Из определения следует где – угол между векторами .

Свойства скалярного произведения:

- скалярный квадрат.

.

.

).

Приложения скалярного произведения:

Определение косинуса угла между векторами:

.

Нахождение проекции вектора на заданное направление:

, .

Пример. Найти косинус угла между векторами и , если , , .

Решение. Найдем координаты векторов и и их модули:

, .

.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор определяемый следующим образом:

длина его равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. , где – угол между векторами и ; вектор перпендикулярен векторам и ; векторы , , после приведения к общему началу образуют правую тройку векторов. Свойства векторного произведения . , если или , , или условие коллинеарности векторов. 3. .

.

Приложения векторного произведения:

Установление коллинеарности векторов: ( (), т.е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника:

,

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами ,

Решение. Найдем координаты векторов

;

.

Вычислим векторное произведение

Найдем модуль вектора ,

.

Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется число .

Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Пусть ребрами параллелограмма являются векторы , , образующие правую тройку векторов и вектор

Имеем ? , так как – площадь основания построенного на векторах , а – высота параллелограмма, то – объем параллелограмма построенного на правой тройке векторов , .

Для левой тройки векторов .

Получаем, , где – объем параллелепипеда построенного на векторах , , .