Модель логистического роста

Условия среды никогда не остаются оптимальными бесконечно долго. Один или несколько абиотических (неоптимальная температура, влажность, соленость) и/или биотических (присутствие хищников, паразитов, нехватка пищи) факторов становятся лимитирующими (ограничивающими рост численности). Сочетание всех таких "ограничителей" называют сопротивлением среды. Сопротивление среды приводит к дифференцированному выживанию сильнейших, наиболее адаптированных особей, иными словами начинает действовать дарвиновский естественный отбор.

Максимальный размер популяции, который экосистема способна поддерживать неопределённо долго при неизменных природных условиях, называется ёмкостью экосистемы для данного вида.

Изменение численности популяции - это соотношение между биологическим потенциалом (прибавление особей) и сопротивлением среды (гибелью особей, смертностью). Факторы сопротивления среды ведут к увеличению смертности, и кривая численности выходит на плато или даже идет вниз, если популяционный взрыв вызвал истощение жизненно важных ресурсов экосистемы. Кривая роста численности популяции при сопротивлении среды приобретает S- образный вид (рис. 2).

Рис. 2. Модель S-образного роста численности популяции

Таким образом, в естественных условиях неограниченный рост невозможен и рано или поздно численность популяции достигнет своего предела, который определяется ёмкостью среды (пространственной, пищевой и т.д.). Если обозначить через максимально возможное число особей в популяции некоторую величину К (ёмкость среды) и ввести поправочный показатель, учитывающий "сопротивление" среды росту численности в виде отношения:

,

то уравнение для такого случая запишется ввиде:

(7)

Решение этого дифференциального уравнения будет иметь вид

(8)

где а - константа интегрирования, определяющая положение функции относительно начала координат, она может быть найдена из выражения (при условии, r=const).

(9)

Выражение (8) описывает так называемую кривую логистического роста (рис.2). Это вторая простейшая математическая модель динамики популяции при условии верхнего предела численности и сопротивления среды росту численности. В соответствии с данной моделью численность популяции на первом этапе достаточно быстро растет, но затем скорость роста популяции замедляется и становится бесконечно малой вблизи величины К (логистическая кривая асимптотически приближается к горизонтали К).