Углы Эйлера

Число степеней свободы – это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве.

Для того, что однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (X,Y,Z). Две: 3+3-1=5 степеней. В этом случае координаты точек X₁,Y₁,Z₁ и X₂,Y₂,Z₂ не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи

L²=(X₂-X₁)²+(Y₂-Y₁)²+(Z₂-Z₁)², Где L – расстояние между точками

Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3+3+3-3=6 степеней свободы.

Зададим три различные декартовы системы координат:

1.Лабораторная X Y Z

2.Система X₀,Y₀,Z₀, начало которой связано с некоторой точкой О твердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системы X Y Z, т.е. она движется поступательно.

3.Система x y z, начало которой находится в той же точке О, что и начало x₀ y₀ z₀, а оси жестко связаны с твердым телом.

Тогда шести степеням свободы твердого тела будут соответствовать три координаты точки О (в X Y Z) и три угла φ, ψ, Θ, однозначно определяющие положение системы x y z относительно x₀ y₀ z₀ - углы Эйлера

φ – угол собственного вращения (поворот вокруг оси Z),

ψ – угол прецессии (поворот вокруг Z₀ с сохранением угла Θ между осями Z₀ и Z),

Θ – угол нутации (отклонение тела от оси Z₀)