Свойства определителей

а)Для всякой матрицы порядка n имеет место формула разложения определителя ее по первому столбцу:

det A=

б) Определитель транспонированной матрицы (квадратной) равен определителю исходной матрицы, т.е.

в) При перестановке местами двух строк или двух столбцов матрицы определитель ее сохраняет абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

г) Если s- ый столбец квадратной матрицы A является линейной комбинацией столбцов (a), (b), т.е.

; k= 1,2,¼, n; b,c Î R, то

, где

- матрицы полученные из А заменой s- ого столбца ее на столбцы (a) и (b) соответственно. д) Определитель матрицы A равен нулю, если: 1. Матрица A имеет одинаковые строки или столбцы; 2. Строка (столбец) матрицы A является линейной комбинацией других строк (столбцов); 3. Матрица A имеет нулевую строку или столбец. е) Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения равна определителю этой матрицы. ё)Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения соответствующих элементов любой другой строки (столбца) равна нулю. ж) Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц. з)если строку\столбец матрицы умножить на число, то ее определитель увеличится на это число. и)если сложить поэлементно 2 строки\столбца, одну из них домножив на число, то определитель не изменится. к)определитель матрицы треугольного вида = произведению её главной диагонали 1.Понятие обратной матрицы Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n с элементами

и определителем отличным от нуля. Такие матрицы в дальнейшем будем называть невырожденными. Квадратные невырожденные матрицы А и В порядка n называются взаимно обратными, если их произведение коммутативно и равно единичной матрице, т.е. АВ=ВА=Е. Обратная матрица к матрице А обозначается символом

и удовлетворяет условию А

А=Е. Существование обратной матрицы Теорема. Для того чтобы матрица А имела обратную необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля, т.е. матрица А невырожденная. НА КЛЕЧ.ЛИСТКЕ. Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных. Векторы и операции над ними 1.Скаляры и векторы. Величины, встречающиеся в естествознании, бывают двух типов. С одной стороны, это те величины, которые характеризуются только числовым значением: масса, площадь, длина, температура и т.д. С другой стороны, величины, которые определяются своим числовым значением и направлением: сила, скорость, ускорение и другие. Величины первого типа называются скалярными или скалярами, а величины второго типа называются векторными. Всякую векторную величину в физическом пространстве геометрически можно изобразить отрезком определенной длины и определенного направления - направленным отрезком. Вектором

будем называть направленный отрезок, имеющий начало в точке А и конец в точке В. Вектор часто обозначают одной буквой, например,

. Модулем или длиной вектора

называют длину отрезка АВ и обозначают символом |

| º |

| º а. Вектор, начало и конец которого совпадают, т.е.

, будем называть нуль-вектором и обозначать символом

. Направление нуль-вектора можно выбирать произвольно. Два вектора

называются равными, если: a. Длины векторов равны, т.е. |

| = |

|; b. Векторы

параллельны, т.е. расположены на параллельных или совпавших прямых; c. Векторы

одинаково направлены (рис. 7).

Рис.7

l В дальнейшем условимся не различать равные векторы, т.е. множество равных векторов будем понимать как один вектор, имеющий начало в произвольной точке, так называемый свободный вектор. 2.Сложение векторов. Суммой векторов

будем называть вектор

, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец совпадает с концом последнего вектора, при условии что начало последующего вектора совпадает с концом предыдущего (рис. 8)

Замечание. Для сложения двух векторов можно воспользоваться «правилом параллелограмма»: суммой двух векторов

называется третий вектор

, имеющий общее начало с векторами

и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 9).

Операция сложения векторов обладает свойствами: 1.

; 2.

)=(

; 4. Вектор -

называется противоположным вектору

; вектор -

имеет длину равную длине вектора

, но противоположное направление, т.е.

+(-

. 3.Вычитание векторов. Разностью двух векторов

будем называть сумму векторов

и -

, т.е.

+(-

) (рис. 10).

4.Умножение вектора на число. Произведением вектора

на число l называется вектор

длины |

| = | l |× а, направление которого совпадает с направлением

, если l > 0, противоположно

, если l < 0. При l=0

=0. Операция умножения вектора на число обладает свойствами: (a+b) =a +b , a,bÎR; a( + )=a +a ; a(b )=(ab) ; 1´

, (-1)´

, 0´

. Замечание. Вектор

называется единичным вектором или ортом направления, определяемого вектором

. Очевидно имеет место равенство

= а

. 5.Коллинеарные векторы. Два вектора

называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Заметим, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Теорема 1. Для того чтобы два вектора

были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы они были пропорциональны, т.е. имело место равенство

, lÎ R. 6.Компланарные векторы. Три или более векторов называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Теорема 2. Для того чтобы три вектора

были компланарными необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией двух других, т.е.

, a,bÎ R. Доказательство. Необходимость. Пусть векторы

компланарны, расположены в одной плоскости и имеют общее начало О (этого можно достичь параллельным переносом). Предположим сначала, что среди этих векторов существуют два неколлинеарных вектора, например

. Тогда представляя вектор

в виде суммы векторов

, соответственно коллинеарных

, будем иметь

(рис. 11)

Так как векторы

попарно коллинеарны, то

. Если все три вектора коллинеарны, то вектор

можно представить в виде

Достаточность. Пусть векторы

удовлетворяют условию

. В этом случае вектор

лежит в той же плоскости, что и векторы

, в силу определенных операций: сложения векторов и умножения вектора на число. Теорема доказана. Проекция вектора на ось. Проекцией вектора

на ось Z наз. число

j, где j - угол между вектором

и направлением оси Z. Если

, то проекция его на любую ось равна нулю. Проекция вектора

на ось Z обозначается символом

(рис. 12).

Вектор

называется составляющей вектора

по оси Z, причем

, где

- орт оси Z. Замечание. Проекция

вектора

на ось Z положительна, если jÎ[0, p/2) (рис. 12а), равна нулю, если j=p/2, и отрицательна, если jÎ(p/2, p] (рис. 12б). Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. Теорема 3. Проекция суммы векторов на данную ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось, т.е.

(

. Доказательство. Пусть заданы векторы

, суммой которых является вектор

(рис.13). Тогда имеем

. Однако

, откуда и получаем

Теорема 4. При умножении вектора на число его проекция на данную ось умножается на то же число, т.е.

)=l

. Доказательство. Из определения проекции вектора на ось Z имеем:

j₁,

)=|l|

j₂, где j₁, j₂ - значения углов, которые составляют векторы

и l

с осью Z. В случае l>0, cos j₁=cos j₂, получаем

j₁=l

. Если же l<0, - cos j₁=cos j₂, то

=|l|

j₂=-l

(-cos j₁)=l

. При l=0 имеем

=0. Теорема доказана. Свойства проекции Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов

называется число, равное произведению модулей этих векторов и косинуса угла между ними. Скалярное произведение векторов

обозначается символом

или (

), т.е. (

)=ab cosj (рис. 3).

Вспоминая понятие проекции вектора на ось, можно заключить следующее: скалярное произведение двух векторов

равно длине одного из них умноженной на проекцию другого на направление первого, т.е. (

Свойства скалярного произведения векторов: 1. (

)=(

) - следствие определения, 2.

- так как

, 4.

- так как

, 5.

- следствие свойств 2 и 4. Заметим, что косинус угла j между не нулевыми векторами

находится по формуле Cos j=

(2) Из равенства (3.2) следует, что ненулевые векторы

перпендикулярны лишь в том случае, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. (

)=0; Cos j=0; j=p/2. Замечание. Нулевой вектор считается перпендикулярным любому другому вектору. Некоторые следствия. 1.Проекция вектора

на направление вектора

равна скалярному произведению вектора

на орт вектора

. Действительно, если векторы

образуют между собой угол j, то

где

орт вектора

. 2. Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат. На самом деле, если векторы

заданы в координатной форме, т.е.

Тогда имея в виду свойства скалярного произведения, и т.к.

, получим

. 3. Косинус угла j между двумя векторами

, заданных координатами, определяется по формуле

. Данная формула является следствием (2) 4. Два вектора коллинеарны в том и только в том случае, если их соответствующие координаты пропорциональны. Действительно, условие коллинеарности векторов

в координатной форме имеет вид

. Из этого равенства следует наше утверждение, так как

. Верно и обратное. Векторное произведение двух векторов Предварительно введем понятие правой тройки векторов. Три вектора

образуют правую тройку, если движение вектора

к вектору

по меньшему углу совершается против часовой стрелки, при наблюдении с конца вектора

. Например, орты

правой системы координат образуют правую тройку векторов. Векторным произведением двух векторов

называется третий вектор

, обозначаемый символом

и удовлетворяющий условиям: 1.Модуль вектора

равен площади параллелограмма, построенного на векторах

т.е.,

, где j -угол между этими векторами. 2. Вектор

ортогонален векторам

. 3. Тройка векторов

правая. Свойства векторного произведения. 1.

. Действительно, модуль векторного произведения

не меняется, т.к. численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах

; направление

противоположно направлению

, т.к. движение от вектора

к вектору

по меньшему углу с конца

вектора -(

) видно по направлению против часовой стрелки, (рис. 4). 2.

. Указанное равенство следует из определения. Замечание: Для того чтобы векторы были коллинеарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нуль вектору, т.е.

. 3.

. Докажем равенство

при l>0. Пусть (

и |

|=abSinj. Тогда вектор

имеем то же направление, что и вектор

. Но

, значит

или

. Очевидно, что

. 4.Для любых векторов

имеет место равенство (

)´

. Рассмотрим частный случай: пары векторов

-правые. В этом случае векторы (

также образуют правую пару. Тогда векторы

коллинеарны и одинаково направлены. И нам остается доказать, что модуль вектора

равен сумме модулей векторов

, т.е. |

|=|

|+|

|. Рассматривая соответствующие параллелограммы, (рис. 5), имеем

Так как

, то имеет место равенство площадей

. Откуда |

|=|

|+|

|, а значит

. Таким образом векторное произведение сумм векторов осуществляется по правилу умножения многочленов. 5.Векторное произведение в координатах. Пусть даны два вектора

в координатах, т.е.

. Тогда, используя свойства векторного произведения и условия

получим

. Или

, откуда

. Замечание. Так как |

|² можно представить в виде |

|²=

, то площадь S треугольника, построенного на векторах

можно вычислить по формуле S=1/2|

| или

Определение функции Определение. Если каждому элементу x из числового множества X можно поставить в соответствие по известному закону один элемент y из числового множества Y, то говорят, что на множестве X задана функция (или однозначная функция), обозначаемая обычно f(x) или y(x). В некоторых случаях указанное соответствие называется отображением множества X на множество Y. Множества X и Y называются соответственно областью определения и областью изменения функции f(x). Очевидно, при задании закона соответствия f(x) и множества X определяется множество Y={y| y = f(x), xÎX}, т.е. для того, чтобы задать функцию, достаточно задать закон соответствия и множество области определения. Переменная x называется аргументом или независимой переменной, а переменная y называется функцией или зависимой переменной. Примеры функций: y=ax+b, XºR, YºR; y=

, X={x| x³0}, Y={y| y³0}. Способы задания функций 1. Аналитическое задание. Если указана совокупность операций, которые надо произвести над аргументом x, чтобы получить значение функции y, то говорят, что функция задана аналитически. 1). Явное задание: y=f(x). Например, y=

+1, x³0; y=x²-5x-1. 2). Неявное задание: уравнение F(x,y)=0, при некоторых условиях, задает функцию y=f(x), если F(x, f(x))º0. Например: Уравнение x²+y²=1 при y³0 задает функцию y=

. 2. Табличное задание. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем. В этом случае получается таблица, в которой даются значения функции для конечного множества значений аргумента. 3. Графическое задание. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости OXY вида M(x,f(x)), где x - произвольное значение из области определения функции. Указанное геометрическое место точек, как правило, образует некоторую кривую l. В этом случае задание кривой l определяет отображение области определения на область изменения функции f(x) (см. Рис). 4. Словесное или описательное задание. В этом случае функциональная зависимость выражается некоторым словесным утверждением. Например: Функция [x] есть целая часть числа x Функция {x} есть дробная часть числа x Графики функций y=[x] и y = {x} ºx-[x]. 1. Заметим, что [x] означает целую часть числа x, т.е. [x]=n, если x=n+r, где 0£ r <1, причем данная функция определена при любом значении x из R. Рассматривая промежутки изменения x вида n£x<n+1 при nÎZ, получим, что [x]=n. Поэтому нетрудно построить график y=[x]. 2. Запишем выражение x-[ x ] на промежутке x Î [n; n + 1), тогда y=x-[x]=n+r-n=r. Следовательно, значение функции в точке n+r равно дробной части числа x, т.е. yÎ[0;1).