Признаки существования предела

1. Если и , то

2. Монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.

3. Числовая последовательность (xn) имеет конечный предел тогда и только тогда, когда

Предел функции в точке. Прежде чем рассматривать предел функции, введем некоторые понятия. А. Предельная точка множества. Определение. Точка х₀ называется предельной точкой множества Х или точкой сгущения, если в любой окрестности точки х₀ содержится хотя бы одна точка множества Х отличная от х₀. Например. 1. Любая точка замкнутого промежутка является точкой сгущения этого промежутка. 2. Любой частичный предел последовательности является точкой сгущения для последовательности. 3. Любая точка интервала (a, b) и точки a, b являются предельными для множества (a, b). Как видим из приведенных примеров, что предельные точки множества могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству, для которого они являются предельными. Например. 1. хn=(-1)n- последовательность имеет две предельные точки: 1 и -1 2. xn=1/n - последовательность имеет одну предельную точку 0; 3. [0; 1] - все точки множества являются предельными; 4. (a, b) - все точки множества [a, b] являются предельными для этого множества; 5. Предел последовательности всегда является предельной точкой последовательности. Б. Окрестность. Определение. Любой открытый промежуток (х₀-d; х₀+d) называется d - окрестностью точки х₀ и обозначается d(х₀). Определение. Левой полуокрестностью точки х₀ является множество (х₀-d, х₀), а правой полуокрестностью точки х₀ является множество (х₀, х₀+d). Определение. Окрестностью бесконечности будем называть множества: (-¥; -D)È(D; +¥), где D некоторое положительное число. Замечание. Окрестностью +¥ является множество (D; +¥), а окрестностью -¥ является множество (-¥; -D), где D некоторое положительное число. Очевидно, что любая окрестность предельной точки множества содержит бесконечно много точек этого множества. В. Замкнутость множества. Граница множества. Определение. Множество Х называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Определение. Множество Х называется открытым, если всякая его точка принадлежит этому множеству вместе с некоторой окрестностью. Определение. Граничной точкой множества Х называется точка х₀, в любой окрестности которой лежат как точки множества Х, так и точки, которые ему не принадлежат. Определение. Множество всех граничных точек образует границу данного множества. Замечание. Граничная точка множества Х может не принадлежать этому множеству. Примеры. 1. Множество [0; 2] является замкнутым; так как все его предельные точки (а это сам отрезок [0;2]) принадлежат данному множеству. 2. Множество (0; 2) является открытым, так как все его точки принадлежат множеству (0; 2) вместе с некоторой окрестностью. (При этом предельные точки 0 и 2 не принадлежат данному множеству). 3. Множества (0; 2] и [0; 2) не являются ни замкнутым ни открытым, т.к.: 1). не все предельные точки их принадлежат данному множеству (точка 0 предельная для (0, 2], но ему не принадлежит; точка 2 предельная для [0, 2), но ему не принадлежит; 2). не все точки принадлежат множеству вместе с некоторой окрестностью (точка 2 для (0; 2] не принадлежит ему вместе с окрестностью; точка 0 для [0, 2) не принадлежит ему вместе с окрестностью) То есть существуют множества, которые не являются ни открытыми ни замкнутыми. 4.Для множеств [0, 2], (0, 2), [0, 2), (0, 2] точки 0 и 2 являются граничными, причем: 1). граничные точки 0 и 2 принадлежат [0, 2]; 2). граничные точки 0 и 2 не принадлежат (0, 2); 3). граничная точка 0 принадлежит [0, 2), а граничная точка 2 не принадлежит [0, 2); 4). граничная точка 0 не принадлежит (0, 2], а граничная точка 2 принадлежит (0, 2]. Далее рассмотрим два примера: y=1/x, y=x+1. Указанные функции обладают такими свойствами: - значение первой функции у=1/х становится близким к 0, если значение аргумента х становится достаточно большим, например положительным. - значение второй функции становится близким к 2, если значение аргумента х становится близким к 1. В математике эти факты можно записать символами: у=1/х®0, при х®¥; у=х+1®2, при х®1. Это свойство можно строго сформулировать математически и оно имеет большое значение в математике. Определение предела (по Коши). Функция f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при стремлении x к предельной точке х₀ множества Х, если для каждого числа e>0 существует число d(e)>0 такое, что при всех х из окрестности |x-x₀|<d, x¹x₀ имеет место неравенство |f(x)-A|<e. Символически этот факт записывают в виде . Геометрическая интерпретация. Если функция у=f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при х®х₀, то разность значений функции и ее предела А достаточно мала, если значение аргумента х близко к х₀. Геометрически это означает, что график функции y=f(x) виден в «окошке» плоскости OXY c координатами: хÎ(х₀-d; х₀+d), х¹х₀, d=min(d₁, d₂); yÎ(A-e; A+e), А - предел функции, e - любое положительное число. Особо отметим, что график функции может «выйти» из указанного «окошка» только через боковые стороны. Только через них! Отметим еще одну особенность: при рассмотрении предела функции в точке х₀ само значение функции в точке х₀ исследователя не интересует. Это значение f(x₀) может быть, в общем случае, равным А или не равным А, или, наконец, функция f(x) в точке х₀ может быть не определена. Определение предела (по Гейне). Функция f(x) хÎХ имеет своим пределом число А при стремлении х к предельной точке х₀, если для любой последовательности xn сходящейся к х₀, причем xn¹х₀ (xnÎ X) последовательность f(xn) сходится к А. Символическая запись. : 1. По Коши: для " e>0, $ d(e, x₀)>0, что при |x-x₀|<d(e), x¹x₀ => |f(x)-A|<e. 2. По Гейне: для " xn®x₀, xn¹x₀ => f(xn)®A. Отметим, что определения предела функции в точке по Коши и по Гейне - эквивалентны. Сформулируем далее следующие утверждение: число А не является пределом функции f(x) в точке х=х₀. Данное утверждение обычно называют отрицанием предела. Отрицание предела. ¹А. По Коши: $ e₀>0 такое, что для " d>0 существует точка х*ÎХ такая, что |x*-x₀|<d, x*¹x₀, но |f(x*)-A|³e₀. По Гейне: $ xn*®x₀, xn*¹x₀, что f(xn*) / A. Свойства пределов Пусть даны функции и . 1.Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел. 2.Сходящаяся функция локально сохраняет знак. Более обще, где — проколотая окрестность точки a. 3.В частности, функция, сходящаяся к положительному (отрицательному) пределу, остаётся положительной (отрицательной) в некоторой окрестности предельной точки: 4.Сходящаяся функция локально ограничена в окрестности предельной точки: 5.Отделимость от нуля функций, имеющих предел, отличный от нуля. 6.Операция взятия предела сохраняет нестрогие неравенства. 7. Предел суммы равен сумме пределов: 8. Предел разности равен разности пределов: 9. Предел произведения равен произведению пределов: 10. Предел частного равен частному пределов. Второй замечательный предел. Мы уже встречались ранее с пределом (1+1/n)n=e при nÎN. Очевидно (1+1/n_k)n_k=e, при nkÎN, т.к. последовательность (1+1/n_k)n_kявляется подпоследовательностью сходящейся к е, последовательности (1+1/n)n. Возьмем далее произвольную последовательность хк сходящуюся к +¥, т.е. хк®+¥, при к®¥. Тогда имеем nk£xk<nk+1, где nk=[xk], а также ; ; . То есть . Пределы левой и правой частей при к®¥ равны е, т.к. nk®+¥ (очевидно и хк®+¥) и (1+1/n_k)n_k=e. Откуда по теореме о зажатой последовательности имеем (1+1/х_k)х_k=e при хк®+¥. Тогда по определению предела по Гейне получаем, что (1+1/х)х=e - 2ойзамечательный предел. Имеет место также равенство (1+1/х)х=e т.к. сделав замену -х=t, получим: (1-1/t)-t= = = = e =e. Итак Замечание. Следует отметить, что (1+a(х))1/a(х)=е; (1+1/a(х))a(х)=е Не забудьте!!! В формуле 2 огозамечательного предела всегда «добавка» к единице является бесконечно малой, а показатель степени является обратной величиной этой бесконечно малой. Определение непрерывности функции в точке. Предположим, что нам задана функция f(x), определенная в некоторой области X={x}, причем полагаем, что предельная точка х=х₀ является внутренней точкой множества Х. Замечание. При определении предела функции было не обязательно, чтобы предельная точка х=х₀ принадлежала множеству области определения f(x). Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке х=х₀, если она имеет этой в точке предел равный значению f(x₀), т.е. f(x)=f(x₀). Определение по Коши. Функция f(x) непрерывна в точке х=х₀, если по " e>0, $ d(e)>0 такое, что при всех х из |x-x₀|< d => |f(x)-f(x₀)|< e. Определение по Гейне. Функция f(x) непрерывна в точке х=х₀, если для любой сходящейся к х₀ последовательности xn®x₀, имеем f(xn)®f(x₀). Важно отметить, что равенство f(x)=f(x₀) можно записать в виде f(x)=f( x). То есть для непрерывных функций возможно переставить местами символы «функция» и «предел», что очень важно при вычислении пределов. Определению непрерывности функции f(x) в точке х=х₀ можно придать другую форму: дадим аргументу х в точке х=х₀, приращение Dх=х-х₀, тогда разность f(x)-f(x₀)=Dy представляет собой приращение функции в точке х=х₀, соответствующее приращению аргумента Dх, т.е. DуºDf(x₀)=f(x₀+Dx)-f(x₀). Из определения непрерывности f(x) следует, что при Dх®0 (х®х₀) имеет место Dу®0 (f(x)®f(x₀)), т.е. Dу=0. ( (f(x₀+Dх)-f(x₀))=0). Итак, непрерывная в точке функция характеризуется тем, что бесконечно малому приращению аргумента Dх соответствует бесконечно малое приращение функции Dу. Задачи, приводящие к вычислению производной. а. Скорость точки в данный момент. Пусть S(t) функция времени, выражающая расстояние пройденное точкой за время t. Рассмотрим изменение этой функции от момента времени t за промежуток равный Dt: DS(t)=S(t+Dt)-S(t). После чего вычислим среднюю скорость точки на промежутке времени [t, t+Dt] Vср= . Если мы хотим найти скорость точки в данный момент (мгновенную скорость), а именно в момент времени t, нужно вычислить предел Vср= . Таким образом находим скорость изменения функции S(t) в момент времени t. б. Линейная плотность стержня. Если стержень является неоднородным, то очевидной характеристикой стержня является плотность его в данной точке, которая определяется как отношение массы стержня к его длине. Находим среднюю плотность стержня на промежутке [x, x+Dx] r_cр= = Тогда плотность стержня в точке х выразится пределом r(х)= r_cр= . в. Задача о касательной к кривой. Пусть уравнение y=f(x) задает в плоскости Оху, некоторую кривую l. Для данной кривой ставится задача: определить наклон касательной к этой кривой, проведенной в точке (x, f(x)), т.е. определить тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ох. При этом касательной к кривой l в точке (x, f(x)) называется предельное положение секущей, проходящей через точки (x, f(x)) и (x+Dx, f(x+Dx)) при Dх®0. Находим тангенс угла наклона секущей L: tg a= = tg b= , где b - угол наклона касательной к кривой в точке (x, f(x)), который она составляет с положительным направлением оси Ох. Из приведенных примеров следует, что многие практические задачи физики, геометрии и техники сводятся к вычислению предела частного, в числителе которого стоит приращение функции, а в знаменателе приращение аргумента, вызвавшее это приращение. Производная функции в точке. Определение. Производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции (Dу) в этой точке к соответствующему приращению аргумента (Dх) при стремлении последнего к нулю, то есть y'(x)= при условии, что этот предел существует. Принято обозначать производную функции у=f(x) в точке х как y'(x) или . Дифференциа́л — линейная часть приращения функции. Дифференцируемость функции. Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если приращение Dу функции f(x) в точке х, отвечающее приращению аргумента Dх, может быть представлено в виде Dу=А×Dх+a(Dх)×Dх, где А - постоянное число (для точки х), не зависящее от Dх; a(Dх) - бесконечно малая функция Dх, т.е. a(Dх)=0. Иначе говоря, приращение Dу имеет вид Dу=А×Dх+о(Dх). Далее покажем дифференцируемость некоторых функций. 1. у=х²+2. Dу=(х+Dх)²+2-х²-2=2хDх+Dх². А=2х; a(Dх)=Dх. 2. у=ln x. Dy=ln(x+Dx)-ln x=ln(1+Dx/x)=Dx/x+о(Dx) 3. у=sin x. Dy=sin(x+Dx)-sin x=2sin(Dx/2)cos(Dx/2+x)= =2(Dx/2+о(Dx))[cos x+(cos(x+Dx/2)-cos x)]= =[Dx+2×о(Dx)]cos x-[Dx+2o(Dx)]sin(x+Dx/4)sinDx/2= =[Dx+2×о(Dx)]cos x-[Dx+2×о(Dx)][Dx/2+о(Dx)]sin(x+Dx/4)= =cos x Dx+2cos x×о(Dx)-(Dx)²×(f(Dx, x))=cos x Dx+о(Dx). Теорема. Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно чтобы f(x) имела в этой точке производную. Доказательство. 1. Необходимость. Пусть y=f(x) в т. х дифференцируема, тогда Dу=А×Dх+о(Dх). Разделим Dу на Dх и вычислим предел частного при Dх®0: = (А+ )=А. С другой стороны =f '(x). Значит f '(x) существует и равна А. 2. Достаточность. Пусть функция y=f(x) имеет производную, т.е. =у'(x), тогда разность функции и предела y'(x) есть величина бесконечно малая при Dх®0, т.е. -y'(x)=a(Dх); a(Dх)®0 приDх®0, Dу=y'(x)×Dx+a(Dx)×Dx. Пусть y'(x)=A для точки х, тогда Dу=А×Dх+a(Dх)×Dх. Теорема доказана. Теорема. Дифференцируемая в точке х функция y=f(x) непрерывна в этой точке. Доказательство. Так как Dу=А×Dх+о(Dх) - условие дифференцируемости, то при Dх®0 получаем Dу®0. Последнее означает непрерывность функции f(x) в точке х. Замечание. Дифференцируемая в точке х=х₀ функция у=f(x) имеет в точке (х₀; f(x₀)) касательную прямую. Геометрический смысл производной. Тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке (x, f(x)) к кривой l: y=f(x), который она составляет с положительным направлением оси Ох, численно равен производной функции y=f(x) в точке х, то есть tgb=y'(x). Уравнение касательной к кривой. Теорема. Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (х₀, f(x₀)) имеет вид y-y₀=f '(x₀)(x-x₀). Доказательство. Известно, что уравнение прямой имеет вид y=kx+b. Но так как эта прямая является касательной к кривой l: y=f(x) в точке (x₀, f(x₀)), то ее угловой коэффициент k должен быть равен f '(x₀). Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку (x₀, f(x₀)). Значит b=f(x₀)-k×x₀. Откуда получаем b=y₀-f '(x₀)×x₀, здесь y₀=f(x₀). Подставляя в уравнение прямой у=kx+b найденные значения k и b, получим уравнение касательной к кривой l, проходящей через точку (x₀, f(x₀)): y-y₀=f '(x₀)×(x-x₀). Пример. Найти угловые коэффициенты касательных к параболе у=2х²-2 в точках, абсциссы которых соответственно равны х₁=1, х₂=-2. Решение. Вычислим производные функции f(x) в точках х₁=1, х₂=-2: так как у'=4x, то y'(1)=4, y'(-2)=-8. Значит искомые угловые коэффициенты соответствующих касательных будут равны k(1)=4 и k(-2)=-8. Пример. Написать уравнение касательных к параболе у=х²+1 в точках (1; 2) и (0; 1). Решение. Находим угловые коэффициенты касательных в соответствующих точках k₁=y'(1)=2 и k₂=y'(0)=0. Тогда имеем уравнения касательных у-2=2(х-1) и у-1=0. Производная сложной функции. Теорема. Пусть нам задана сложная функция y=f(j(x)), причем 1. Функция u=j(x) имеет в точке х* производную u'=j'(x*); 2. функция y=f(u) имеет в точке u*=j(x*) производную y'=f'(u*), тогда сложная функция y=f(j(x)) в точке х* также имеет производную, которая выражается формулой [f(j(x))]'=f_j'(j(x*))×j_x'(x*), или [f(j(x))]_x'=f_j'×j_x'. Доказательство. Найдем приращение f в точке х*, которое соответствует приращению аргумента Dх: Т.к. Dj=j_х'×Dx+a(Dx)×Dx, и Df=f_j'×Dj+a(Dj)×Dj, то Df=f_j'×(j_x'×Dx+Dxa(Dx))+a(Dj)×Dj. И = (f_j'×j_x'+f_j' a(Dx)+a(Dj)× )=f_j'×j_x'. Окончательно имеем f_x'(j(x))=f_j'×j_x'. Производная неявной функции. Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой уравнением вида F(x, y)=0. Пример: у+ =0, x²+ln y=0. Определение. Если функция y=f(x), определенная на некотором интервале (a, b) такова, что уравнение F(x, y)=0 при подстановке в него y=f(x) обращается в тождество относительно х, то функция у=f(x) называется неявно заданной уравнением F(x, y)=0. Частные производные функции z=F(x, y). Определение. Если существует предел , то он называется частной производной по переменному х функции z=F(x, y) в точке (х, у) и обозначается символами z_x' или F_x'(x, y). Определение. Если существует предел , то он называется частной производной по переменному у функции z=F(x, y) в точке (х, у) и обозначается символами z_y' или F_y'(x, y). Полное приращение F(x, y) Пусть имеем функцию двух переменных z=F(x, y), где у=f(x) дифференцируемая функция; т.е. F(x, y) является функцией переменного х как сложная функция z=F(x, f(x)). Если переменная х получает приращение Dх, то переменная у=f(x) также принимает приращение Dу в силу непрерывности f(x). Откуда получим: DF(x)=F(x+Dx, y+Dy)-F(x, y)=F(x+Dx, y+Dy)-F(x, y+Dy)+F(x, y+Dy)-F(x, y)= =D_xF(x, y+Dy)+D_yF(x, y). тогда после деления равенства на Dх и перехода к пределу при Dх®0 получим: = + = + × =F_x'(x, y)+F_y'(x, y)×y'(x) Итак: для того чтобы вычислить производную функции у=f(x), заданной неявно уравнением F(x, y)=0, нужно приравнять нулю производную левой части как производную сложной функции, считая у функцией х, т.е. у=f(x). При этом получим равенство F_x'+F_y'×y_x'=0 или y_x'= . F_y'¹0. Здесь F_x' и F_y' - частные производные F(x, y) по переменным х и у соответственно. Например. 1. х²+у²-а²=0. 2х+2y×y'=0, y_x'=-x/y; y¹0. 2. sin x+yx=0. cos x+y+y'×x=0, y_x'= (-y-cos x)= (-cos x+ ). x¹0. Производная обратной функции. Напомним условия существования обратной функции. Теорема. Если функция f(x) определена, строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b], то существует однозначная, строго монотонная и непрерывная функция x=j(y) обратная функции у=f(x) на промежутке [f(a), f(b)]. Замечание. Чтобы по данной функции у=f(x) построить обратную функцию, надо разрешить уравнение y=f(х) относительно х (если это удается), т.е. выразить х через у: х=j(у). Например. y=cos x и x=arccos y; y=ax и x=logaу. Теорема. Пусть на отрезке [a, b] задана строго монотонная, непрерывная функция y=f(x), тогда, если в точке х* функция y=f(x) имеет конечную производную f'(x*)¹0, то производная обратной функции х=j(у) в точке у* (у*=f(x*)) существует и находится из равенства j¢(y*)= . Доказательство. Дадим приращение Dу переменной у в точке у*, тогда обратная функция х=j(у) получит соответствующее приращение Dх=Dj(у*). Заметим, что приращения Dх и Dу отличны от нуля, так как функции j(у) и f(x) строго монотонны. Далее составим частное . При переходе к пределу при Dу®0 (очевидно Dх®0), получим xy¢(y*)= = = . Следовательно j¢(y)|y=y*= . Вывод призводных 1. y=logax, y'= . Так как Dy=loga(x+Dx)-logax=loga(1+Dx/x), вычислим = ×loga(1+Dx/x)= = == × = . 2. y=ctg x, y'= . Dy=ctg(x+Dx)-ctg x= ; y'= = = . 3. (arcsin x)'= Доказательство. Если у=arcsin x, то обратная функция x=sin y. Причем уÎ(-p/2; p/2), а тогда cos y>0. В силу предыдущей теоремы имеем. .; 4. (arccos x)'=- Доказательство. у=arccos x; x=cosy, yÎ(0, p), sin y>0. Тогда .; 5. (arctg x)'= Доказательство. y=arctg x; x=tg y. Поэтому имеем .; 6. (arcctg x)'= - Доказательство. y=arcсtg x; x=сtg y. Поэтому имеем .;