Система счисления - совокупность различных приемов обозначения чисел., Если при записи числа одна и та же цифра имеет различное значение (в зависимости от позиции), то система счисления называется позиционной в
Например: 7 7 7
|
В общем виде любое число в позиционной системе счисления имеет вид
а1 а2 а3 … ак-1 ак = а1Нt-1 + а2Нt-2 + а3Нt-3 + … акНt-к,
где Н - основание системы;
к - количество разрядов в числе;
t - фиксированное число равное числу разрядов до запятой.
Основание системы – это количество символов используемых для представления числа. Исторически сложилось так, что наибольшее распространение получила десятичная система счисления (на руках 10 пальцев).
Например: 359,78 = 3*102 + 5*101 + 9*100 + 7*10-1 + 8*10-2
Н = 10; t = 3; к = 5.
Однако, в вычислительной технике применяют и другие системы счисления.
Шестнадцатеричная: на месте коэффициентов an, an-1, … a1 могут быть любые из шестнадцати символов.
десятичные числа | ||||||||||||||||
шестнадцатеричные числа | А | В | С | D | Е | F |
Основание Н такой системы является число 16.
|
|
Восьмеричная: на месте коэффициентов an, an-1, … a1 могут быть первые восемь цифр десятичного алфавита
0, 1, 3, 4, 5, 6, 7
Основанием Н такой системы является число 8
(213,4)8 = 2*82 + 1*81 + 3*80 + 4*8-1 = (139,5)10
Двоичная: используются всего две цифры 0 и 1
Основанием Н такой системы является число 2.
(10101)2 = 1*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20 = 16 + 4 + 1 = (21)10
Двоичная система получила наибольшее распространение в вычислительных машинах из-за простоты схемной реализации устройств, т.к. в природе очень много явлений, имеющих два состояния (включено и выключено, намагничено - размагничено, транзистор открыт - транзистор закрыт, есть отверстие в перфокарте или его нет). Микропроцессор К580ВМ80А тоже работает с двоичными числами, однако вводят их в УМК устройство памяти в шестнадцатеричной системе счисления, т.к. такой ввод короче. Восьмеричная система счисления применяется при вводе чисел в персональных ЭВМ серии ДВК.
Для того, чтобы перевести целое число Х из одной системы счисления с основанием Н в новую систему счисления с основанием Н1 необходимо последовательно делить заданное число и получающиеся в процессе деления частные на основание новой системы до тех пор, пока последнее частное не окажется меньше нового основания. Результат перевода запишется в виде последовательности цифр, начиная с последнего частного и заканчивая первым остатком,
Например, перевести число 875 из десятичной системы в двоичную.
|
|
(875)10 = (1101101011)2 |
Для того, чтобы перевести правильную дробь из системы с одним основанием в другую, нужно произвести последовательное умножение этой дроби и получающихся дробных частей произведений на основание новой системы. Результатом перевода является прямая последовательность целых частей полученных произведений. Если дробная часть не равна нулю, то производят округление. Например, перевести десятичную дробь 0,125 в двоичную систему счисления.
направление чтения | Х2 | |||
| ||||
Х2 | ||||
Перевод чисел из двоичной системы в шестнадцатеричную производится по следующим правилам. Двоичное число разбивают на группы по 4 разряда, начиная с младшего. Если в старших разрядах не хватает цифр до четырех знаков, то в качестве недостающих цифр добавляют нули. Взамен этих групп по 4 разряда записывают числа в шестнадцатеричном коде.
Например, 1 1001 1010 = 0001 1001 1010
1010 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = 8 + 2 = (10)10 = А16
1001 = 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = (9)10 = 916
0001 = 0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = (1)10 = (1)16
Таким образом, (1 1001 1010)2 = (19А)16
Проверку можно осуществить переводом чисел в десятичную систему счисления:
110011010 = 1*18+1*27+0*26+0*25+1*24+1*23+0*22+1*21+0*20 =
256 + 128 + 16 + 8 + 2 = (410)10
(19А)16 = 1*162+9*161+10*160 = 256 + 144 + 10 = (410)10
Перевод чисел из двоичной системы в восьмеричную производится по следующему правилу. Двоичное число разбивают на группы по 3 разряда (бита), начиная с младшего. Если в старших разрядах не хватает цифр до трех знаков, то в качестве недостающих цифр добавляют нули. Группы по три разряда переводят из двоичной системы в восьмеричную и записывают получившееся число.
Например, 110 011 010 = (632)8
010 = 1*21 = 2
011 = 1*21 + 1*20 = 3
110 = 1*22 + 1*21 = 6
При записи чисел в шестнадцатеричной системе счисления после самого числа ставится буква Н, обозначающая шестнадцатеричную систему, например, 8IH, ААН, А9Н, и т.д. При записи чисел в двоичной системе счисления после комбинации нулей и единиц, ставится буква В (binary - двоичный), например, 0101В. При записи чисел в десятичной системе счисления ставится буква D, например, 356 D).
Для удобства начинающих переводить числа из одной системы в другую приводится таблица переводов.
Таблица 1
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ | |||
Десятичная | Двоичная | Восьмеричная | Шестнадцатеричная |
А В С D Е F |